Campo aleatorio

En física y matemáticas , un campo aleatorio es una función aleatoria sobre un dominio arbitrario (generalmente un espacio multidimensional como ). Es decir, es una función que toma un valor aleatorio en cada punto (o en algún otro dominio). A veces también se lo considera un sinónimo de un proceso estocástico con alguna restricción en su conjunto de índices. ^[1] Es decir, según las definiciones modernas, un campo aleatorio es una generalización de un proceso estocástico en el que el parámetro subyacente ya no necesita ser "tiempo" real o con valores enteros, sino que puede tomar valores que son vectores multidimensionales.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$o puntos en algún colector . ^[2]

Definición formal

Dado un espacio de probabilidad , un X -valued campo aleatorio es una colección de X -valued variables aleatorias indexadas por elementos en un espacio topológico T . Es decir, un campo aleatorio F es una colección${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

donde cada uno es una variable aleatoria con valor X.${\displaystyle F_{t}}$

Ejemplos

En su versión discreta, un campo aleatorio es una lista de números aleatorios cuyos índices se identifican con un conjunto discreto de puntos en un espacio (por ejemplo, espacio euclidiano n- dimensional ). De manera más general, los valores podrían definirse en un dominio continuo, y el campo aleatorio podría considerarse como una variable aleatoria de "función valorada" como se describe anteriormente. En la teoría cuántica de campos, la noción se generaliza incluso a una función aleatoria , una que adquiere un valor aleatorio en un espacio de funciones (ver integral de Feynman ). Existen varios tipos de campos aleatorios, entre ellos el campo aleatorio de Markov (MRF), el campo aleatorio de Gibbs , el campo aleatorio condicional(CRF) y campo aleatorio gaussiano . Un MRF exhibe la propiedad de Markov

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,}$

para cada elección de valores . Y cada uno es el conjunto de vecinos de . En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor depende de sus variables aleatorias vecinas inmediatas. La probabilidad de una variable aleatoria en un MRF viene dada por${\displaystyle (x_{j})_{j}}$${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},}$

donde la suma (puede ser una integral) está sobre los posibles valores de k. A veces es difícil calcular esta cantidad con exactitud. En 1974, Julian Besag propuso un método de aproximación basado en la relación entre MRF y Gibbs RF. ^{[ cita requerida ]}

Aplicaciones

Cuando se usa en las ciencias naturales , los valores en un campo aleatorio a menudo están correlacionados espacialmente. Por ejemplo, los valores adyacentes (es decir, los valores con índices adyacentes) no difieren tanto como los valores que están más separados. Este es un ejemplo de una estructura de covarianza , muchos tipos diferentes de los cuales se pueden modelar en un campo aleatorio. Un ejemplo es el modelo de Ising, donde a veces las interacciones con los vecinos más cercanos solo se incluyen como una simplificación para comprender mejor el modelo.

Un uso común de los campos aleatorios es la generación de gráficos por computadora, particularmente aquellos que imitan superficies naturales como el agua y la tierra .

En neurociencia , particularmente en estudios de imágenes cerebrales funcionales relacionados con tareas que utilizan PET o fMRI , el análisis estadístico de campos aleatorios es una alternativa común a la corrección de comparaciones múltiples para encontrar regiones con activación verdaderamente significativa. ^[3]

También se utilizan en aplicaciones de aprendizaje automático (consulte modelos gráficos ).

Campos aleatorios con valores de tensor

Los campos aleatorios son de gran utilidad en el estudio de procesos naturales mediante el método de Monte Carlo en el que los campos aleatorios corresponden a propiedades que varían naturalmente en el espacio. Esto conduce a campos aleatorios con valores de tensor en los que el papel clave lo desempeña un elemento de volumen estadístico (SVE); cuando el SVE se vuelve lo suficientemente grande, sus propiedades se vuelven deterministas y se recupera el elemento de volumen representativo (RVE) de la física determinista del continuo. El segundo tipo de campos aleatorios que aparecen en las teorías del continuo son los de cantidades dependientes (temperatura, desplazamiento, velocidad, deformación, rotación, fuerzas corporales y superficiales, tensiones, etc.). ^[4]

Ver también

• Covarianza
• Kriging
• Variograma
• Revender
• Proceso estocástico
• Sistema de partículas interactivas
• Autómatas celulares estocásticos
• modelo grafico

Referencias

1. "Campos aleatorios" (PDF) .
2. Vanmarcke, Erik (2010). Campos aleatorios: análisis y síntesis . Compañía Editorial Científica Mundial. ISBN 978-9812563538.
3. Worsley, KJ; Evans, AC; Marrett, S .; Neelin, P. (noviembre de 1992). "Un análisis estadístico tridimensional para estudios de activación de CBF en el cerebro humano" . Revista de flujo sanguíneo cerebral y metabolismo . 12 (6): 900–918. doi : 10.1038 / jcbfm.1992.127 . ISSN 0271-678X . PMID 1400644 .  
4. Malyarenko, Anatoliy; Ostoja-Starzewski, Martin (2019). Campos aleatorios con valores de tensor para la física continua . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781108429856.

Lectura adicional

• Adler, RJ y Taylor, Jonathan (2007). Campos aleatorios y geometría . Saltador. ISBN 978-0-387-48112-8.
• Besag, JE (1974). "Interacción espacial y análisis estadístico de sistemas de celosía". Revista de la Royal Statistical Society . Serie B 36 (2): 192–236. doi : 10.1111 / j.2517-6161.1974.tb00999.x .
• Griffeath, David (1976). "Campos aleatorios". En Kemeny, John G .; Snell, Laurie ; Knapp, Anthony W. (eds.). Cadenas de Markov numerables (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-90177-9.
• Khoshnevisan (2002). Procesos multiparamétricos: una introducción a los campos aleatorios . Saltador. ISBN 0-387-95459-7.