En lógica , un cuantificador es un operador que especifica cuántos individuos en el dominio del discurso satisfacen una fórmula abierta . Por ejemplo, el cuantificador universal en la fórmula de primer orden expresa que todo en el dominio satisface la propiedad denotada por . Por otro lado, el cuantificador existencial en la fórmula expresa que hay algo en el dominio que satisface esa propiedad. Una fórmula en la que un cuantificador tiene un alcance más amplio se denomina fórmula cuantificada. Una fórmula cuantificada debe contener una variable ligada y una subfórmula especificando una propiedad del referente de esa variable.
Los cuantificadores más comúnmente utilizados son y . Estos cuantificadores se definen de manera estándar como duales y, por lo tanto, son interdefinibles mediante la negación . También se pueden utilizar para definir cuantificadores más complejos, como en la fórmula que expresa que nada tiene la propiedad . Otros cuantificadores solo se pueden definir dentro de la lógica de segundo orden o lógicas de orden superior . Los cuantificadores se han generalizado a partir del trabajo de Mostowski y Lindström .
Los cuantificadores de primer orden se aproximan a los significados de algunos cuantificadores del lenguaje natural como "algunos" y "todos". Sin embargo, muchos cuantificadores de lenguaje natural solo pueden analizarse en términos de cuantificadores generalizados .
Para un dominio finito del discurso D = {a 1 , ... a n }, el cuantificador universal es equivalente a una conjunción lógica de proposiciones con términos singulares a i (que tienen la forma Pa i para predicados monádicos ).
El cuantificador existencial es equivalente a una disyunción lógica de proposiciones que tienen la misma estructura que antes. Para dominios infinitos del discurso, las equivalencias son similares.
Considere la siguiente declaración ( usando notación de puntos para la multiplicación ):
Esto tiene la apariencia de una conjunción infinita de proposiciones. Desde el punto de vista de los lenguajes formales , esto es un problema inmediato, ya que se espera que las reglas de sintaxis generen palabras finitas .
El ejemplo anterior tiene la suerte de que existe un procedimiento para generar todos los conjuntos. Sin embargo, si se hiciera una afirmación sobre cada número irracional , no habría forma de enumerar todos los conjuntos, ya que los irracionales no se pueden enumerar. Una formulación sucinta y equivalente que evita estos problemas utiliza la cuantificación universal :
Un análisis similar se aplica a la disyunción ,
que puede reformularse utilizando cuantificación existencial :
Es posible idear álgebras abstractas cuyos modelos incluyan lenguajes formales con cuantificación, pero el progreso ha sido lento [ aclaración necesaria ] y el interés en tal álgebra ha sido limitado. Hasta la fecha se han ideado tres enfoques:
Los dos cuantificadores más comunes son el cuantificador universal y el cuantificador existencial. El símbolo tradicional del cuantificador universal es " ∀ ", una letra " A " rotada , que significa "para todos" o "todos". El símbolo correspondiente para el cuantificador existencial es " ∃ ", una letra " E " rotada , que significa "existe" o "existe". [1] [2] [3]
Un ejemplo de traducción de una declaración cuantificada en un lenguaje natural como el inglés sería el siguiente. Dada la afirmación, "A cada uno de los amigos de Peter le gusta bailar o le gusta ir a la playa (o ambos)", los aspectos clave pueden identificarse y reescribirse utilizando símbolos, incluidos cuantificadores. Entonces, sea X el conjunto de todos los amigos de Peter, P ( x ) el predicado " x le gusta bailar" y Q ( x ) el predicado " x le gusta ir a la playa". Entonces la oración anterior se puede escribir en notación formal como , que se lee, "para cada x que es un miembro de X , Pse aplica a x o Q se aplica a x ".
Algunas otras expresiones cuantificadas se construyen de la siguiente manera,
para una fórmula P . Estas dos expresiones (usando las definiciones anteriores) se leen como "existe un amigo de Peter al que le gusta bailar" y "a todos los amigos de Peter les gusta bailar", respectivamente. Las notaciones variantes incluyen, para el conjunto X y los miembros del conjunto x :
Todas estas variaciones también se aplican a la cuantificación universal. Otras variaciones para el cuantificador universal son
Algunas versiones de la notación mencionan explícitamente el rango de cuantificación. Siempre debe especificarse el rango de cuantificación; para una teoría matemática dada, esto se puede hacer de varias maneras:
Se puede utilizar cualquier variable como variable cuantificada en lugar de cualquier otra, bajo ciertas restricciones en las que no se produce la captura de variables . Incluso si la notación usa variables escritas, se pueden usar variables de ese tipo.
De manera informal o en lenguaje natural, la "∀ x " o la "∃ x " pueden aparecer después o en el medio de P ( x ). Sin embargo, formalmente, la frase que introduce la variable ficticia se coloca al frente.
Las fórmulas matemáticas mezclan expresiones simbólicas para cuantificadores con cuantificadores de lenguaje natural como,
Las palabras clave para la cuantificación de la unicidad incluyen:
Además, x puede reemplazarse por un pronombre . Por ejemplo,
El orden de los cuantificadores es fundamental para el significado, como lo ilustran las siguientes dos proposiciones:
Esto es claramente cierto; simplemente afirma que todo número natural tiene un cuadrado. El significado de la afirmación en la que se invierte el orden de los cuantificadores es diferente:
Esto es claramente falso; afirma que hay un solo número natural s que es el cuadrado de cada número natural. Esto se debe a que la sintaxis indica que ninguna variable no puede ser una función de las variables introducidas posteriormente.
Un ejemplo menos trivial del análisis matemático son los conceptos de continuidad uniforme y puntual , cuyas definiciones difieren sólo por un intercambio en las posiciones de dos cuantificadores. Una función f de R a R se llama
En el primer caso, el valor particular elegido para δ puede ser una función tanto de ε como de x , las variables que lo preceden. En el último caso, δ puede ser una función solo de ε (es decir, debe elegirse independientemente de x ). Por ejemplo, f ( x ) = x 2 satisface la continuidad puntual, pero no uniforme. Por el contrario, el intercambio de los dos cuantificadores universales iniciales en la definición de continuidad puntual no cambia el significado.
La profundidad máxima de anidamiento de cuantificadores en una fórmula se denomina " rango de cuantificador ".
Si D es un dominio de x y P ( x ) es un predicado dependiente de la variable de objeto x , entonces la proposición universal se puede expresar como
Esta notación se conoce como cuantificación restringida, relativizada o acotada . Equivalentemente se puede escribir,
La proposición existencial se puede expresar con cuantificación acotada como
o equivalente
Junto con la negación, solo se necesita uno del cuantificador universal o existencial para realizar ambas tareas:
lo que muestra que para refutar una proposición "para todo x ", no se necesita más que encontrar una x para la cual el predicado es falso. Similar,
para refutar una proposición " existe una x ", es necesario demostrar que el predicado es falso para todo x .
Cada cuantificación involucra una variable específica y un dominio de discurso o rango de cuantificación de esa variable. El rango de cuantificación especifica el conjunto de valores que toma la variable. En los ejemplos anteriores, el rango de cuantificación es el conjunto de números naturales. La especificación del rango de cuantificación nos permite expresar la diferencia entre, digamos, afirmar que un predicado es válido para algún número natural o para algún número real . Las convenciones expositivas a menudo reservan algunos nombres de variables como " n " para números naturales y " x"para números reales, aunque depender exclusivamente de las convenciones de nomenclatura no puede funcionar en general, ya que los rangos de variables pueden cambiar en el curso de un argumento matemático.
Una forma más natural de restringir el dominio del discurso utiliza la cuantificación cautelosa . Por ejemplo, la cuantificación protegida
medio
En algunas teorías matemáticas , se asume un solo dominio de discurso fijado de antemano. Por ejemplo, en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , las variables abarcan todos los conjuntos. En este caso, se pueden usar cuantificadores protegidos para imitar un rango más pequeño de cuantificación. Así, en el ejemplo anterior, para expresar
en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, uno escribiría
donde N es el conjunto de todos los números naturales.
La semántica matemática es la aplicación de las matemáticas para estudiar el significado de expresiones en un lenguaje formal. Tiene tres elementos: una especificación matemática de una clase de objetos a través de la sintaxis , una especificación matemática de varios dominios semánticos y la relación entre los dos, que generalmente se expresa como una función de los objetos sintácticos a los semánticos. Este artículo solo aborda la cuestión de cómo se interpretan los elementos cuantificadores. La sintaxis de una fórmula puede estar dada por un árbol sintáctico. Un cuantificador tiene un alcance , y la ocurrencia de una variable x es gratuita si no está dentro del alcance de una cuantificación para esa variable. Así en
la ocurrencia de ambos x y y en C ( y , x ) es libre, mientras que la ocurrencia de x y y en B ( y , x ) se une (es decir, no libre).
Una interpretación de primer orden cálculo de predicados asume como dado un dominio de individuos X . Una fórmula A cuya libre variables son x 1 , ..., x n se interpreta como un boolean función -valued F ( v 1 , ..., v n ) de n argumentos, donde cada argumento rangos más el dominio X . Valor booleano significa que la función asume uno de los valores T (interpretado como verdad) o F (interpretado como falsedad). La interpretación de la fórmula
es la función G de n -1 argumentos tal que G ( v 1 , ..., v n -1 ) = T si y solo si F ( v 1 , ..., v n -1 , w ) = T para cada w en X . Si F ( v 1 , ..., v n -1 , w ) = F para al menos un valor de w , entonces G ( v1 , ..., v n -1 ) = F . Del mismo modo, la interpretación de la fórmula
es la función H de n -1 argumentos tal que H ( v 1 , ..., v n -1 ) = T si y solo si F ( v 1 , ..., v n -1 , w ) = T para al menos una w y H ( v 1 , ..., v n -1 ) = F en caso contrario.
La semántica para la cuantificación de la unicidad requiere un cálculo de predicados de primer orden con igualdad. Esto significa que se le da un predicado distinguido de dos posiciones "="; la semántica también se modifica en consecuencia para que "=" siempre se interpreta como la relación de igualdad de dos lugar el X . La interpretación de
entonces es la función de n -1 argumentos, que es la lógica y de las interpretaciones de
Cada tipo de cuantificación define un operador de cierre correspondiente en el conjunto de fórmulas, agregando, para cada variable libre x , un cuantificador para ligar x . [7] Por ejemplo, el cierre existencial de la fórmula abierta n > 2 ∧ x n + y n = z n es la fórmula cerrada ∃ n ∃ x ∃ y ∃ z ( n > 2 ∧ x n + y n = z n); la última fórmula, cuando se interpreta sobre los números naturales, se sabe que es falsa por el último teorema de Fermat . Como otro ejemplo, los axiomas de ecuaciones, como x + y = y + x , generalmente están destinados a denotar su cierre universal , como ∀ x ∀ y ( x + y = y + x ) para expresar conmutatividad .
Ninguno de los cuantificadores discutidos anteriormente se aplica a una cuantificación como
Un posible mecanismo de interpretación se puede obtener de la siguiente manera: Supongamos que además de un dominio semántico X , hemos dado una medida de probabilidad P definida en X y números de corte 0 < a ≤ b ≤ 1. Si A es una fórmula con variables libres x 1 , ..., x n cuya interpretación es la función F de las variables v 1 , ..., v n entonces la interpretación de
es la función de v 1 , ..., v n -1 que es T si y solo si
y F de lo contrario. Del mismo modo, la interpretación de
es la función de v 1 , ..., v n -1 que es F si y solo si
y T de lo contrario. [ cita requerida ]
Se han propuesto algunos otros cuantificadores a lo largo del tiempo. En particular, el cuantificador de la solución, [8] : 28 señaló § ( signo de sección ) y leyó "esos". Por ejemplo,
se lee "aquellos n en N tales que n 2 ≤ 4 están en {0,1,2}". La misma construcción se puede expresar en notación de constructor de conjuntos como
A diferencia de los otros cuantificadores, § produce un conjunto en lugar de una fórmula. [9]
Algunos otros cuantificadores que a veces se usan en matemáticas incluyen:
La lógica de términos , también llamada lógica aristotélica, trata la cuantificación de una manera más cercana al lenguaje natural y también menos adecuada para el análisis formal. La lógica del término trataba Todo , Algo y No en el siglo IV a. C., en un relato que también toca las modalidades aléticas .
En 1827, George Bentham publicó su Esquema de un nuevo sistema de lógica, con un examen crítico de los Elementos de lógica del Dr. Whately , que describe el principio del cuantificador, pero el libro no tuvo una amplia circulación. [10]
William Hamilton afirmó haber acuñado los términos "cuantificar" y "cuantificación", muy probablemente en sus conferencias de Edimburgo c. 1840. Augustus De Morgan confirmó esto en 1847, pero el uso moderno comenzó con De Morgan en 1862, donde hace afirmaciones como "Debemos tomar tanto a todos como a algunos-no-todos como cuantificadores". [11]
Gottlob Frege , en su Begriffsschrift de 1879 , fue el primero en emplear un cuantificador para vincular una variable que abarca un dominio del discurso y aparece en predicados . Cuantificaría universalmente una variable (o relación) escribiendo la variable sobre un hoyuelo en una línea que de otro modo sería recta que aparece en sus fórmulas esquemáticas. Frege no ideó una notación explícita para la cuantificación existencial, sino que empleó su equivalente de ~ ∀ x ~, o contraposición . El tratamiento que hizo Frege de la cuantificación pasó prácticamente inadvertido hasta los Principios de las matemáticas de 1903 de Bertrand Russell .
En un trabajo que culminó en Peirce (1885), Charles Sanders Peirce y su alumno Oscar Howard Mitchell inventaron independientemente cuantificadores universales y existenciales y variables ligadas . Peirce y Mitchell escribieron Π x y Σ x donde ahora escribimos ∀ x y ∃ x . La notación de Peirce se puede encontrar en los escritos de Ernst Schröder , Leopold Loewenheim , Thoralf Skolem y los lógicos polacos en la década de 1950. En particular, es la notación del histórico artículo de 1930 de Kurt Gödel sobre la integridad de la lógica de primer ordeny artículo de 1931 sobre la incompletitud de la aritmética de Peano .
El enfoque de Peirce para la cuantificación también influyó en William Ernest Johnson y Giuseppe Peano , quienes inventaron otra notación, a saber ( x ) para la cuantificación universal de x y (en 1897) ∃ x para la cuantificación existencial de x . Por lo tanto, durante décadas, la notación canónica en filosofía y lógica matemática fue ( x ) P para expresar "todos los individuos en el dominio del discurso tienen la propiedad P " y "(∃ x ) P " porque "existe al menos un individuo en el dominio del discurso que tiene la propiedad P. "Peano, que era mucho más conocido que Peirce, de hecho difundió el pensamiento de este último por toda Europa. La notación de Peano fue adoptada por los Principia Mathematica de Whitehead y Russell , Quine y Alonzo Church . En 1935, Gentzen introdujo el símbolo ∀, por analogía con el símbolo ∃ de Peano. ∀ no se convirtió en canónico hasta la década de 1960.
Hacia 1895, Peirce comenzó a desarrollar sus gráficos existenciales , cuyas variables pueden verse tácitamente cuantificadas. Si la instancia más superficial de una variable es par o impar determina si la cuantificación de esa variable es universal o existencial. (La superficialidad es lo contrario de la profundidad, que está determinada por el anidamiento de negaciones.) La lógica gráfica de Peirce ha atraído cierta atención en los últimos años por aquellos que investigan el razonamiento heterogéneo y la inferencia diagramática .
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