Teoría del valor extremo

Este artículo trata sobre la teoría estadística. Para obtener el resultado en cálculo, consulte el teorema del valor extremo .

La teoría de valores extremos se utiliza para modelar el riesgo de eventos extremos y raros, como el terremoto de Lisboa de 1755 .

La teoría de valores extremos o análisis de valores extremos ( EVA ) es una rama de la estadística que se ocupa de las desviaciones extremas de la mediana de las distribuciones de probabilidad . Busca evaluar, a partir de una muestra ordenada dada de una variable aleatoria dada, la probabilidad de eventos que son más extremos que cualquiera de los observados previamente. El análisis de valor extremo se usa ampliamente en muchas disciplinas, como ingeniería estructural , finanzas, ciencias de la tierra , predicción de tráfico e ingeniería geológica . Por ejemplo, EVA podría usarse en el campo de la hidrología.para estimar la probabilidad de una inundación inusualmente grande, como la inundación de 100 años . De manera similar, para el diseño de un rompeolas , un ingeniero costero buscaría estimar la ola de 50 años y diseñar la estructura en consecuencia.

Análisis de los datos

Existen dos enfoques principales para el análisis práctico de valores extremos.

El primer método se basa en derivar series de máximos (mínimos) de bloque como paso preliminar. En muchas situaciones es habitual y conveniente extraer los máximos (mínimos) anuales, generando una "Serie de Máximos Anuales" (AMS).

El segundo método se basa en extraer, de un registro continuo, los valores máximos alcanzados para cualquier período durante el cual los valores exceden un cierto umbral (cae por debajo de un cierto umbral). Este método se conoce generalmente como el método "Peak Over Threshold" ^[1] (POT).

Para los datos de AMS, el análisis puede depender en parte de los resultados del teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko , lo que lleva a seleccionar la distribución de valores extremos generalizados para el ajuste. ^{[2] [3]} Sin embargo, en la práctica, se aplican varios procedimientos para seleccionar entre una gama más amplia de distribuciones. El teorema aquí se relaciona con las distribuciones límite para el mínimo o el máximo de una colección muy grande de variables aleatorias independientes de la misma distribución. Dado que el número de eventos aleatorios relevantes dentro de un año puede ser bastante limitado, no es sorprendente que los análisis de los datos de AMS observados a menudo conduzcan a la selección de distribuciones distintas de la distribución generalizada de valores extremos (GEVD).^[4]

Para los datos de POT, el análisis puede implicar el ajuste de dos distribuciones: una para el número de eventos en un período de tiempo considerado y una segunda para el tamaño de las superaciones.

Un supuesto común para el primero es la distribución de Poisson , con la distribución de Pareto generalizada que se utiliza para las superaciones. Un ajuste de cola se puede basar en el teorema de Pickands-Balkema-de Haan . ^{[5] [6]}

Novak ^[7] reserva el término "método POT" para el caso en el que el umbral no es aleatorio, y lo distingue del caso en el que se trata de superaciones de un umbral aleatorio.

Aplicaciones

Las aplicaciones de la teoría de valores extremos incluyen la predicción de la distribución de probabilidad de:

• Inundaciones extremas ; El tamaño de las olas monstruosas
• Tornado brotes ^[8]
• Tamaños máximos de poblaciones ecológicas ^[9]
• Efectos secundarios de los medicamentos (p. Ej., Ximelagatran )
• Los montos de grandes pérdidas de seguros
• Riesgos patrimoniales ; Riesgo de mercado diario
• Eventos mutacionales durante la evolución
• Grandes incendios forestales ^[10]
• Cargas ambientales en estructuras ^[11]
• Estimar el tiempo más rápido que los humanos son capaces de correr los 100 metros de velocidad ^[12] y desempeñarse en otras disciplinas atléticas ^{[13] [14].}
• Fallos en las tuberías debido a la corrosión por picaduras
• Tráfico de red de TI anómalo, evita que los atacantes accedan a datos importantes
• Análisis de seguridad vial ^{[15] [16]}
• Comunicaciones inalámbricas ^[17]
• Epidemias ^[18]
• Neurobiología ^[19]

Historia

Leonard Tippett (1902-1985) fue pionero en el campo de la teoría del valor extremo . Tippett fue empleado de la Asociación Británica de Investigación de la Industria del Algodón , donde trabajó para fortalecer el hilo de algodón. En sus estudios, se dio cuenta de que la fuerza de un hilo estaba controlada por la fuerza de sus fibras más débiles. Con la ayuda de RA Fisher , Tippet obtuvo tres límites asintóticos que describen las distribuciones de extremos asumiendo variables independientes. Emil Julius Gumbel codificó esta teoría en su libro Statistics of Extremes de 1958 , incluidas las distribuciones de Gumbel.que llevan su nombre. Estos resultados pueden extenderse para permitir correlaciones leves entre variables, pero la teoría clásica no se extiende a correlaciones fuertes del orden de la varianza. Una clase de universalidad de particular interés es la de los campos con correlación logarítmica, donde las correlaciones decaen logarítmicamente con la distancia.

Se puede encontrar un resumen de publicaciones históricamente importantes relacionadas con la teoría de los valores extremos en la Lista de publicaciones en estadística .

Teoría univariante

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución acumulativa F y denotemos el máximo.${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}=\max(X_{1},\dots ,X_{n})}$

En teoría, la distribución exacta del máximo se puede derivar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(M_{n}\leq z)&=\Pr(X_{1}\leq z,\dots ,X_{n}\leq z)\\&=\Pr(X_{1}\leq z)\cdots \Pr(X_{n}\leq z)=(F(z))^{n}.\end{aligned}}}$

La función indicadora asociada es un proceso de Bernoulli con una probabilidad de éxito que depende de la magnitud del evento extremo. Por lo tanto, el número de eventos extremos dentro de los ensayos sigue una distribución binomial y el número de ensayos hasta que ocurre un evento sigue una distribución geométrica con valor esperado y desviación estándar del mismo orden .${\displaystyle I_{n}=I(M_{n}>z)}$${\displaystyle p(z)=1-(F(z))^{n}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n}$${\displaystyle O(1/p(z))}$

En la práctica, es posible que no tengamos la función de distribución, pero el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko proporciona un resultado asintótico. Si existen secuencias de constantes y tales que${\displaystyle F}$${\displaystyle a_{n}>0}$${\displaystyle b_{n}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pr\{(M_{n}-b_{n})/a_{n}\leq z\}\rightarrow G(z)}$

como entonces${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

${\displaystyle G(z)\propto \exp \left[-(1+\zeta z)^{-1/\zeta }\right]}$

donde depende de la forma de la cola de la distribución. Cuando se normaliza, G pertenece a una de las siguientes familias de distribución no degeneradas :${\displaystyle \zeta }$

Ley de Weibull : cuando la distribución de tiene una cola ligera con límite superior finito. También conocido como Tipo 3.${\displaystyle G(z)={\begin{cases}\exp \left\{-\left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)^{\alpha }\right\}&z<b\\1&z\geq b\end{cases}}}$${\displaystyle M_{n}}$

Ley de Gumbel : cuando la distribución de tiene una cola exponencial. También conocido como Tipo 1${\displaystyle G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}{\text{ for }}z\in \mathbb {R} .}$${\displaystyle M_{n}}$

Ley de Fréchet : cuando la distribución de tiene una cola pesada (incluida la desintegración polinomial). También conocido como Tipo 2.${\displaystyle G(z)={\begin{cases}0&z\leq b\\\exp \left\{-\left({\frac {z-b}{a}}\right)^{-\alpha }\right\}&z>b.\end{cases}}}$${\displaystyle M_{n}}$

En todos los casos, .${\displaystyle \alpha >0}$

Teoría multivariante

La teoría del valor extremo en más de una variable introduce problemas adicionales que deben abordarse. Un problema que surge es que hay que especificar qué constituye un evento extremo. ^[20] Aunque esto es sencillo en el caso univariante, no hay una manera inequívoca de hacerlo en el caso multivariado. El problema fundamental es que, aunque es posible ordenar un conjunto de números con valores reales, no existe una forma natural de ordenar un conjunto de vectores.

Por ejemplo, en el caso univariado, dado un conjunto de observaciones , es sencillo encontrar el evento más extremo simplemente tomando el máximo (o mínimo) de las observaciones. Sin embargo, en el caso bivariado, dado un conjunto de observaciones , no está claro de inmediato cómo encontrar el evento más extremo. Suponga que uno ha medido los valores en un momento específico y los valores en un momento posterior. ¿Cuál de estos eventos se consideraría más extremo? No existe una respuesta universal a esta pregunta.${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle (3,4)}$${\displaystyle (5,2)}$

Otro problema en el caso multivariado es que el modelo limitante no está tan completamente prescrito como en el caso univariado. En el caso univariado, el modelo ( distribución GEV ) contiene tres parámetros cuyos valores no son predichos por la teoría y deben obtenerse ajustando la distribución a los datos. En el caso multivariado, el modelo no solo contiene parámetros desconocidos, sino también una función cuya forma exacta no está prescrita por la teoría. Sin embargo, esta función debe obedecer a ciertas restricciones. ^{[21] [22]}

Como ejemplo de una aplicación, la teoría de valores extremos bivariados se ha aplicado a la investigación oceánica. ^{[20] [23]}

Ver también

• Riesgo extremo
• Clima extremo
• Teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko
• Distribución generalizada de valores extremos
• Teoría de la gran desviación
• Parte aislada
• Distribución de Pareto
• Teorema de Pickands-Balkema-de Haan
• Eventos raros
• Distribución de Weibull
• Principio de redundancia

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Notas

1. Leadbetter, señor (1991). "Sobre la base del modelado de 'Picos por encima del umbral'". Estadísticas y letras de probabilidad . 12 (4): 357–362. doi : 10.1016 / 0167-7152 (91) 90107-3 .
2. Fisher y Tippett (1928)
3. Gnedenko (1943)
4. Embrechts, Klüppelberg y Mikosch (1997)
5. Pickands (1975)
6. Balkema y de Haan (1974)
7. Novak (2011)
8. Tippett, Michael K .; Lepore, Chiara; Cohen, Joel E. (16 de diciembre de 2016). "Más tornados en los brotes de tornados más extremos de Estados Unidos" . Ciencia . 354 (6318): 1419–1423. doi : 10.1126 / science.aah7393 . PMID 27934705 . 
9. Batt, Ryan D .; Carpenter, Stephen R .; Ives, Anthony R. (marzo de 2017). "Eventos extremos en series de tiempo del ecosistema del lago" . Letras de limnología y oceanografía . 2 (3): 63. doi : 10.1002 / lol2.10037 .
10. Alvardo (1998, p. 68).
11. Makkonen (2008)
12. JHJ Einmahl y SGWR Smeets (2009), "Ultimate 100m Records mundo a través de Extreme-Teoría del Valor" (PDF) , Documento de debate Center, Universidad de Tilburg , 57 , Archivado desde el original (PDF) en 12/03/2016 , obtenidos 2009 -08-12
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15. Songchitruksa, P .; Tarko, AP (2006). "El enfoque de la teoría del valor extremo para la estimación de la seguridad". Análisis y prevención de accidentes . 38 (4): 811–822. doi : 10.1016 / j.aap.2006.02.003 . PMID 16546103 . 
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21. Beirlant, Jan; Goegebeur, Yuri; Teugels, Jozef; Segers, Johan (27 de agosto de 2004). Estadística de extremos: teoría y aplicaciones . Serie de Wiley en Probabilidad y Estadística. Chichester, Reino Unido: John Wiley & Sons, Ltd. doi : 10.1002 / 0470012382 . ISBN 9780470012383.
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23. Zachary, S .; Feld, G .; Ward, G .; Wolfram, J. (octubre de 1998). "Extrapolación multivariante en el entorno offshore". Investigación Oceánica Aplicada . 20 (5): 273–295. doi : 10.1016 / s0141-1187 (98) 00027-3 . ISSN 0141-1187 . 

Referencias

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Software

• Estadísticas de valor extremo en R : paquetes para estadísticas de valor extremo en R
• ExtremeStats.jl y Extremes.jl - Estadísticas de valor extremo en Julia

enlaces externos

• La teoría del valor extremo puede salvar su cuello Fácil introducción no matemática (pdf)
• Código fuente para análisis de valores extremos estacionarios y no estacionarios Universidad de California, Irvine
• Pasos para aplicar la teoría del valor extremo a las finanzas: una revisión
• Les valeurs extrêmes des distributions statistiques Acceso al texto completo de las conferencias celebradas por EJ Gumbel en 1933-1934, en francés (pdf)