Producto tensorial de campos

Anillo producido a partir de dos campos

Para otros usos, consulte el producto Tensor (desambiguación) .

No confundir con el campo Tensor .

Este artículo se lee como un libro de texto y puede requerir una limpieza . Ayude a mejorar este artículo para que tenga un tono neutro y cumpla con los estándares de calidad de Wikipedia . ( Agosto de 2021 )

En matemáticas, el producto tensorial de dos campos es su producto tensorial como álgebras sobre un subcampo común . Si no se especifica explícitamente ningún subcampo, los dos campos deben tener la misma característica y el subcampo común debe ser su [[campo principal | subcampo principal.

El producto tensorial de dos campos es a veces un campo y, a menudo, un producto directo de campos; En algunos casos, puede contener elementos nilpotentes distintos de cero .

El producto tensorial de dos campos expresa en una sola estructura la forma diferente de incrustar los dos campos en un campo de extensión común .

Compositum de campos

Primero, se define la noción de composición de campos. Esta construcción ocurre con frecuencia en la teoría de campos . La idea detrás del compositum es hacer que el campo más pequeño contenga otros dos campos. Para definir formalmente el compositum, primero se debe especificar una torre de campos . Sea k un campo y L y K dos extensiones de k . El compositum, denotado KL se define para ser donde el lado derecho indica la extensión generada por K y L . Tenga en cuenta que esto supone algún campo que contiene tanto K como L${\displaystyle K.L=k(K\cup L)}$. O se comienza en una situación en la que un campo ambiental es fácil de identificar (por ejemplo, si K y L son ambos subcampos de los números complejos), o se demuestra un resultado que permite colocar tanto K como L (como copias isomórficas) en algún campo lo suficientemente grande.

En muchos casos se puede identificar K . L como un espacio vectorial producto tensorial , tomada sobre el campo N que es la intersección de K y L . Por ejemplo, si uno está junto a √2 el campo racional para obtener K , y √3 para obtener L , es cierto que el campo H obtiene como K . L dentro de los números complejos es ( hasta isomorfismo)${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }L}$

como un espacio vectorial terminado . (Este tipo de resultado se puede verificar, en general, utilizando la teoría de ramificación de la teoría algebraica de números ).${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Los subcampos K y L de M son linealmente disjuntos (sobre un subcampo N ) cuando de esta manera el mapa lineal N natural de

${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

a K . L es inyectiva . ^[1] Naturalmente esto no siempre es el caso, por ejemplo, cuando K = L . Cuando los grados son finitos, inyectivo equivale aquí a biyectivo . Por lo tanto, cuando K y L son linealmente campos de extensión finitos grados disjuntos más de N , , como con las extensiones antes mencionadas de los racionales.${\displaystyle K.L\cong K\otimes _{N}L}$

Un caso significativo en la teoría de campos ciclotómicos es que para el n º raíces de la unidad , para n un número compuesto, los subcampos generados por el p ^k ésimo raíces de la unidad para potencias primos dividiendo n son disjuntos linealmente para distinta p . ^[2]

El producto tensorial como anillo

Para obtener una teoría general, es necesario considerar una estructura de anillo . Se puede definir el producto como (ver producto tensorial de álgebras ). Esta fórmula es multilineal sobre N en cada variable; y así define una estructura de anillo en el producto tensorial, convirtiéndose en un N- álgebra conmutativa , llamado producto tensorial de campos .${\displaystyle K\otimes _{N}L}$${\displaystyle (a\otimes b)(c\otimes d)}$${\displaystyle ac\otimes bd}$${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

Análisis de la estructura del anillo

La estructura del anillo puede ser analizado teniendo en cuenta todas las formas de incrustación tanto K y L en alguna extensión campo de la N . Tenga en cuenta que la construcción aquí asume el subcampo común N ; pero no asume a priori que K y L son subcampos de algún campo M (evitando así las advertencias sobre la construcción de un campo compositum). Siempre que uno incrusta K y L en tal campo M , digamos usando incrustaciones α de K y β de L , se produce un homomorfismo de anillo γ desde dentro de M${\displaystyle K\otimes _{N}L}$ definido por:

${\displaystyle \gamma (a\otimes b)=(\alpha (a)\otimes 1)\star (1\otimes \beta (b))=\alpha (a).\beta (b).}$

El núcleo de γ será un ideal primo del producto tensorial; y por el contrario cualquier ideal primo del producto tensor dará un homomorfismo de N -álgebras a un dominio de integridad (dentro de un campo de fracciones ) y así proporciona incrustaciones de K y L en algún campo como extensiones de (una copia de) N .

De esta manera se puede analizar la estructura de : puede haber en principio un nilradical distinto de cero (intersección de todos los ideales primos) - y después de tomar el cociente por ese se puede hablar del producto de todas las incrustaciones de K y L en varios M , sobre N .${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

En caso de que K y L sean extensiones finitas de N, la situación es particularmente simple ya que el producto del tensor es de dimensión finita como un N -álgebra (y por lo tanto un anillo artiniano ). Entonces se puede decir que si R es el radical, se tiene como producto directo de un número finito de campos. Cada uno de tales campo es un representante de una clase de equivalencia de incrustaciones de campo (esencialmente distinta) para K y L en alguna extensión M .${\displaystyle (K\otimes _{N}L)/R}$

Ejemplos de

Por ejemplo, si K es generado por la raíz cúbica de 2, entonces es el producto de (una copia de) K , y un campo de división de${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }K}$

X ³ - 2,

de grado 6 sobre . Se puede probar esto calculando la dimensión del producto del tensor como 9 y observando que el campo de división contiene dos (de hecho tres) copias de K , y es el compuesto de dos de ellos. Por cierto, eso muestra que R = {0} en este caso.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Un ejemplo que conduce a un nilpotente distinto de cero: deje

P ( X ) = X ^p - T

con K el campo de funciones racionales en el T indeterminado sobre el campo finito con p elementos. (Ver polinomio separable : el punto aquí es que P no es separable). Si L es la extensión de campo K ( T ^{1 / p} ) (el campo de división de P ), entonces L / K es un ejemplo de una extensión de campo puramente inseparable . En el elemento${\displaystyle L\otimes _{K}L}$

${\displaystyle T^{1/p}\otimes 1-1\otimes T^{1/p}}$

es nilpotente: tomando su p- ésima potencia se obtiene 0 usando K -linealidad.

Teoría clásica de incrustaciones reales y complejas

En la teoría algebraica de números , los productos tensoriales de los campos son (implícitamente, a menudo) una herramienta básica. Si K es una extensión de un grado finito n , es siempre un producto de campos isomorfos a o . Los campos numéricos totalmente reales son aquellos para los que solo se producen campos reales: en general, hay r ₁ campos reales y r ₂ complejos, con r ₁ + 2 r ₂ = n como se ve contando dimensiones. Los factores de campo están en correspondencia 1–1 con las incorporaciones reales , y${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$pares de incrustaciones conjugadas complejas , descritas en la literatura clásica.

Esta idea se aplica también a donde _p es el campo de p -números ádicos . Este es un producto de extensiones finitas de _p , en correspondencia 1–1 con las terminaciones de K para extensiones de la métrica p -ádica en .${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Consecuencias para la teoría de Galois

Esto da una imagen general y, de hecho, una forma de desarrollar la teoría de Galois (según las líneas explotadas en la teoría de Galois de Grothendieck ). Se puede demostrar que para extensiones separables, el radical siempre es {0}; por lo tanto, el caso de la teoría de Galois es el semisimple , de productos de campos solamente.

Ver también

• Extensión de escalares : producto de tensión de una extensión de campo y un espacio vectorial sobre ese campo.

Notas

1. "Extensiones linealmente disjuntas" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
2. "Campo ciclotómico" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Referencias

• "Compositum of field extensions" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Kempf, George R. (2012) [1995]. "9.2 Descomposición de productos tensores de campos" . Estructuras algebraicas . Saltador. págs. 85–87. ISBN 978-3-322-80278-1.
• Milne, JS (18 de marzo de 2017). Teoría algebraica de números (PDF) . pag. 17. 3.07.
• Stein, William (2004). "Una breve introducción a la teoría de números algebraica clásica y adelica" (PDF) . págs. 140-2.
• Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975) [1958]. Conmutativa álgebra I . Textos de Posgrado en Matemáticas. 28 . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90089-6. Señor  0090581 .

enlaces externos

• Hilo MathOverflow en la definición de disjunción lineal