En matemáticas , una estructura de realidad en un espacio vectorial complejo V es una descomposición de V en dos subespacios reales, llamados partes real e imaginaria de V :
Aquí V R es un subespacio real de V , es decir, un subespacio de V considerado como un espacio vectorial sobre los números reales . Si V tiene una dimensión compleja n (dimensión real 2 n ), entonces V R debe tener una dimensión real n .
La estructura de realidad estándar en el espacio vectorial. es la descomposición
En presencia de una estructura de realidad, cada vector en V tiene una parte real y una parte imaginaria, cada una de las cuales es un vector en V R :
En este caso, el conjugado complejo de un vector v se define de la siguiente manera:
Este mapa es una involución antilineal , es decir
Por el contrario, dada una involución antilineal en un espacio vectorial complejo V , es posible definir una estructura de realidad en V de la siguiente manera. Dejar
y definir
Luego
En realidad, esta es la descomposición de V como los espacios propios del operador lineal real c . Los valores propios de c son +1 y −1, con espacios propios V R y V R , respectivamente. Típicamente, el operador c en sí, en lugar de la descomposición del espacio característico que implica, se conoce como la estructura de la realidad en V .
Ver también
Referencias
- Penrose, Roger ; Rindler, Wolfgang (1986), Spinors y espacio-tiempo. Vol. 2 , Monografías de Cambridge sobre física matemática, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25267-6, MR 0838301