grupo divisible

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En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de grupos , un grupo divisible es un grupo abeliano en el que cada elemento puede, en algún sentido, ser dividido por números enteros positivos, o más exactamente, cada elemento es un enésimo múltiplo para cada número entero positivo n . Los grupos divisibles son importantes para comprender la estructura de los grupos abelianos, especialmente porque son los grupos abelianos inyectivos .

Un grupo abeliano es divisible si, para todo entero positivo y todo , existe tal que . ^[1] Una condición equivalente es: para cualquier número entero positivo , , ya que la existencia de para cada y implica que , y en la otra dirección es cierta para todo grupo. Una tercera condición equivalente es que un grupo abeliano es divisible si y sólo si es un objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos ; por esta razón, un grupo divisible a veces se denomina grupo inyectivo .${\displaystyle (G,+)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle y\in G}$${\displaystyle ny=g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle nG=G}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g}$${\displaystyle nG\supseteq G}$${\displaystyle nG\subseteq G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Un grupo abeliano es - divisible por un primo si por cada , existe tal que . De manera equivalente, un grupo abeliano es divisible si y solo si .${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle y\in G}$${\displaystyle py=g}$${\displaystyle p}$${\displaystyle pG=G}$

Sea G un grupo divisible. Entonces el subgrupo de torsión Tor( G ) de G es divisible. Dado que un grupo divisible es un módulo inyectivo , Tor( G ) es un sumando directo de G . Asi que

Como cociente de un grupo divisible, G /Tor( G ) es divisible. Además, es libre de torsión . Por tanto, es un espacio vectorial sobre Q y por tanto existe un conjunto I tal que

La estructura del subgrupo de torsión es más difícil de determinar, pero se puede demostrar ^{[6] [7]} que para todos los números primos p existe tal que${\displaystyle I_{p}}$

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