En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de categorías , el concepto de objeto inyectivo es una generalización del concepto de módulo inyectivo . Este concepto es importante en cohomología , en teoría de homotopía y en teoría de categorías de modelos . La noción dual es la de objeto proyectivo .
Definición
Un objeto en una categoría se dice que es inyectivo si para cada monomorfismo y cada morfismo existe un morfismo extensión a , es decir, tal que .
Es decir, cada morfismo factores a través de cada monomorfismo .
El morfismo en la definición anterior no es necesario que esté determinado de forma única por y .
En una categoría localmente pequeña , es equivalente a requerir que el functor hom lleva monomorfismos en a mapas de conjuntos sobreyectivos .
En categorías abelianas
La noción de inyectividad se formuló por primera vez para las categorías abelianas , y esta sigue siendo una de sus principales áreas de aplicación. Cuándoes una categoría abeliana, un objeto Q dees inyectivo si y solo si su functor hom C (-, Q ) es exacto .
Si es una secuencia exacta ental que Q sea inyectiva, entonces la secuencia se divide .
Suficientes inyectables y cascos inyectables.
La categoría se dice que tiene suficientes inyectores si para cada objeto X de, existe un monomorfismo de X a un objeto inyectivo.
Un monomorfismo g enSe llama monomorfismo esencial si para cualquier morfismo f , el compuesto fg es un monomorfismo solo si f es un monomorfismo.
Si g es un monomorphism esencial con dominio X y un inyectiva codomain G , entonces G se llama un casco inyectiva de X . El casco inyectivo se determina de forma única por X hasta un isomorfismo no canónico.
Ejemplos de
- En la categoría de grupos abelianos y homomorfismos de grupo , Ab , un objeto inyectivo es necesariamente un grupo divisible . Suponiendo el axioma de elección, las nociones son equivalentes.
- En la categoría de módulos (izquierda) y homomorfismos de módulo , R - Mod , un objeto inyectivo es un módulo inyectivo . R - Mod tiene cascos inyectivos (como consecuencia, R - Mod tiene suficientes inyectores).
- En la categoría de espacios métricos , Met , un objeto inyectivo es un espacio métrico inyectivo , y el casco inyectivo de un espacio métrico es su espacio estrecho .
- En la categoría de espacios T 0 y mapeos continuos , un objeto inyectivo es siempre una topología de Scott en una celosía continua y, por lo tanto, siempre es sobrio y localmente compacto .
Usos
Si una categoría abeliana tiene suficientes inyectables, podemos formar resoluciones inyectivas , es decir, para un objeto X dado podemos formar una secuencia larga y exacta.
y luego se pueden definir los functores derivados de un functor F dado aplicando F a esta secuencia y calculando la homología de la secuencia resultante (no necesariamente exacta). Este enfoque se utiliza para definir los functores Ext y Tor y también las diversas teorías de cohomología en teoría de grupos , topología algebraica y geometría algebraica . Las categorías que se utilizan son típicamente categorías de functor o categorías de haces de módulos O X en algún espacio anillado ( X , O X ) o, más generalmente, cualquier categoría de Grothendieck .
Generalización
Dejar ser una categoría y dejar ser una clase de morfismos de.
Un objeto de se ha dicho -injetivo si para cada morfismo y cada morfismo en existe un morfismo con .
Si es la clase de monomorfismos , volvemos a los objetos inyectivos que se trataron anteriormente.
La categoría se dice que tiene suficiente-injetivos si para cada objeto X de, existe un -morfismo de X a un-objeto inyectivo.
A -morfismo g en se llama -esencial si para cualquier morfismo f , el compuesto fg está ensolo si f está en.
Si g es un-Morfismo esencial con dominio X y un-codominio inyectivo G , entonces G se llama uncasco -injective de X .
Ejemplos de objetos H -injectivos
- En la categoría de conjuntos simpliciales , los objetos inyectivos con respecto a la clasede las extensiones anodinas son complejos Kan .
- En la categoría de conjuntos parcialmente ordenados y mapas monótonos , las celosías completas forman los objetos inyectivos de la clase.de incrustaciones de orden , y la finalización Dedekind-MacNeille de un conjunto parcialmente ordenado es su-casco inyectivo.
Ver también
- Objeto proyectivo
Notas
Referencias
- J. Rosicky, Injetividad y categorías accesibles
- F. Cagliari y S. Montovani, T 0 -reflexión y cascos inyectivos de espacios de fibras