homología reducida

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En matemáticas , la homología reducida es una modificación menor hecha a la teoría de la homología en la topología algebraica , motivada por la intuición de que todos los grupos de homología de un solo punto deben ser iguales a cero. Esta modificación permite hacer declaraciones más concisas (como en la dualidad de Alexander ) y elimina muchos casos excepcionales (como en los grupos de homología de esferas ).

es isomorfo a (un grupo cíclico infinito ), mientras que para i ≥ 1 tenemos${\ estilo de visualización \ mathbb {Z}}$

Más generalmente, si X es un complejo simplicial o un complejo CW finito , entonces el grupo H ₀ ( X ) es el grupo abeliano libre con los componentes conectados de X como generadores. La homología reducida debería reemplazar este grupo, digamos de rango r , por uno de rango r − 1. De lo contrario, los grupos de homología deberían permanecer sin cambios. Una forma ad hoc de hacer esto es pensar en una clase de homología 0-ésima no como una suma formal de componentes conectados, sino como una suma formal donde los coeficientes suman cero.

y definir los grupos de homología por .${\displaystyle H_{n}(X)=\ker(\parcial _{n})/\mathrm {im} (\parcial _{n+1})}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}$

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