En matemáticas , la dualidad de Alexander se refiere a una teoría de la dualidad presagiada por un resultado de 1915 por JW Alexander , y posteriormente desarrollada, particularmente por Pavel Alexandrov y Lev Pontryagin . Se aplica a las propiedades de la teoría de la homología del complemento de un subespacio X en el espacio euclidiano , una esfera u otra variedad . Está generalizado por la dualidad Spanier-Whitehead .
Declaración general para esferas
Dejar Ser un subespacio de la esfera compacto y localmente contráctil. de dimensión n . Dejar ser el complemento de en . Entonces sísignifica homología reducida o cohomología reducida , con coeficientes en un grupo abeliano dado , hay un isomorfismo
para todos . Tenga en cuenta que podemos descartar la contractibilidad local como parte de la hipótesis, si utilizamos la cohomología Čech , que está diseñada para tratar patologías locales.
Aplicaciones
Esto es útil para calcular la cohomología de complementos de nudos y enlaces en. Recuerda que un nudo es una incrustación.y un eslabón es una unión disjunta de nudos, como los anillos de Borromeo . Entonces, si escribimos el enlace / nudo como, tenemos
- ,
dando un método para calcular los grupos de cohomología. Entonces, es posible diferenciar entre diferentes enlaces utilizando los productos Massey . [1] Los grupos de homología son
por los anillos de Borromeo.
Alexander dualidad para gavillas construibles
Para variedades suaves , la dualidad de Alexander es una consecuencia formal de la dualidad de Verdier para haces de grupos abelianos. Más precisamente, si dejamos denotamos una variedad suave y dejamos ser un subespacio cerrado (como un subespacio que representa un ciclo o una subvariedad) representado por la inclusión , y si es un campo, entonces si es un haz de -espacios vectoriales tenemos el siguiente isomorfismo [2] : 307
- ,
donde el grupo de cohomología de la izquierda es cohomología de apoyo compacto . Podemos desglosar más esta declaración para comprender mejor lo que significa. Primero, si es la gavilla constante y es una subvariedad suave, entonces obtenemos
- ,
donde el grupo de cohomología de la derecha es la cohomología local con apoyo en. Mediante reducciones adicionales, es posible identificar la homología de con la cohomología de . Esto es útil en geometría algebraica para calcular los grupos de cohomología de variedades proyectivas, y se explota para construir una base de la estructura de Hodge de hipersuperficies de grado.usando el anillo jacobiano .
Resultado de Alexander en 1915
Para volver al trabajo original de Alexander, se supone que X es un complejo simplicial .
Alexander tenía poco del aparato moderno, y su resultado fue solo para los números de Betti , con coeficientes tomados como módulo 2. Lo que se puede esperar proviene de los ejemplos. Por ejemplo, la construcción del toro de Clifford en las 3 esferas muestra que el complemento de un toro sólido es otro toro sólido; que estará abierto si el otro está cerrado, pero esto no afecta a su homología. Cada uno de los toros sólidos es desde el punto de vista de la homotopía un círculo . Si escribimos los números de Betti
- 1, 1, 0, 0
del círculo (hasta , ya que estamos en la 3-esfera), invierta como
- 0, 0, 1, 1
y luego mueva uno a la izquierda para obtener
- 0, 1, 1, 0
hay una dificultad, ya que no estamos consiguiendo lo que empezamos. Por otro lado, el mismo procedimiento aplicado a los números Betti reducidos , para los cuales el número Betti inicial se reduce en 1, comienza con
- 0, 1, 0, 0
y da
- 0, 0, 1, 0
De dónde
- 0, 1, 0, 0.
Esto hace a cabo el trabajo, la predicción de números de Betti reducción del complemento.
El prototipo aquí es el teorema de la curva de Jordan , que se refiere topológicamente al complemento de un círculo en la esfera de Riemann . También cuenta la misma historia. Tenemos los números honestos de Betti
- 1, 1, 0
del círculo, y por lo tanto
- 0, 1, 1
volteando y
- 1, 1, 0
desplazándose hacia la izquierda. Esto le devuelve algo diferente de lo que los teorema de Jordan, que es que hay dos componentes, cada uno contráctil ( Schoenflies teorema , que sean precisos en lo que se usa aquí). Es decir, la respuesta correcta en números Betti honestos es
- 2, 0, 0.
Una vez más, son los números reducidos de Betti los que funcionan. Con esos, comenzamos con
- 0, 1, 0
para terminar con
- 1, 0, 0.
De estos dos ejemplos, por lo tanto, se puede inferir la formulación de Alexander: números de Betti reducidos están relacionados en complementos por
- .
Referencias
- ↑ Massey, William S. (1 de mayo de 1998). "Números de enlace de orden superior" (PDF) . Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 07 (03): 393–414. doi : 10.1142 / S0218216598000206 . ISSN 0218-2165 . Archivado desde el original el 2 de febrero de 2021.
- ^ Iversen, Birger (1986). Cohomología de poleas . Berlín: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 978-3-642-82783-9 . ISBN 0-387-16389-1. OCLC 13269489 .
- Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (PDF) . Cambridge: Cambridge University Press . pag. 254. ISBN 0-521-79540-0.
- "Alexander duality" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Otras lecturas
- Miller, Ezra; Sturmfels, Bernd (2005). Álgebra conmutativa combinatoria . Textos de Posgrado en Matemáticas . 227 . Nueva York, NY: Springer-Verlag . Ch. 5 Alexander Dualidad . ISBN 0-387-22356-8.