Gráfico Reeb
Un gráfico Reeb [1] (llamado así por Georges Reeb por René Thom ) es un objeto matemático que refleja la evolución de los conjuntos de niveles de una función de valor real en una variedad . [2] Según [3] un concepto similar fue introducido por GM Adelson-Velskii y AS Kronrod y aplicado al análisis del decimotercer problema de Hilbert . [4] Propuesto por G. Reeb como herramienta en la teoría Morse , [5]Gráficos Reeb son la herramienta natural para estudio multivaluado relaciones funcionales entre campos escalares 2D , y surge de las condiciones y , debido a que estas relaciones son de un solo valor cuando restringido a una región asociada con un borde individual de la gráfica Reeb. Este principio general se utilizó por primera vez para estudiar superficies neutrales en oceanografía . [6]
Los gráficos Reeb también han encontrado una amplia variedad de aplicaciones en geometría computacional y gráficos por computadora , [1] [7] incluyendo diseño geométrico asistido por computadora , coincidencia de formas basada en topología , [8] [9] [10] análisis de datos topológicos , [11 ] simplificación y limpieza topológica, segmentación de superficies [12] y parametrización, cálculo eficiente de conjuntos de niveles y termodinámica geométrica . [3] En un caso especial de una función en un espacio plano (técnicamente un dominio simplemente conectado), el gráfico Reeb forma un polytree y también se llama árbol de contorno . [13]
Los gráficos de conjuntos de niveles ayudan a la inferencia estadística relacionada con la estimación de funciones de densidad de probabilidad y funciones de regresión , y se pueden utilizar en el análisis de conglomerados y la optimización de funciones , entre otras cosas. [14]
Dado un espacio topológico X y una función continua f : X → R , definir una relación de equivalencia ~ en X donde p ~ q cuando p y q pertenecen a la misma componente conectado de un único conjunto de nivel f -1 ( c ) para algunos reales c . El gráfico de Reeb es el espacio cociente X / ∼ dotado de la topología del cociente .
Si f es una función Morse con valores críticos distintos , el gráfico de Reeb se puede describir de manera más explícita. Sus nodos, o vértices, corresponden a los conjuntos de niveles críticos f −1 ( c ). El patrón en el que los arcos, o aristas, se encuentran en los nodos / vértices refleja el cambio en la topología del conjunto de niveles f −1 ( t ) cuando t pasa por el valor crítico c . Por ejemplo, si c es un mínimo o un máximo de f , se crea o destruye un componente; en consecuencia, un arco se origina o termina en el nodo correspondiente, que tiene grado1. Si c es un punto silla del índice 1 y dos componentes de f −1 ( t ) se fusionan en t = c a medida que t aumenta, el vértice correspondiente del gráfico Reeb tiene grado 3 y se parece a la letra "Y"; el mismo razonamiento se aplica si el índice de c es dim X −1 y un componente de f −1 ( c ) se divide en dos.