En matemáticas , en la teoría de semigrupos , un semigrupo de factor de Rees (también llamado semigrupo de cociente de Rees o simplemente factor de Rees ), llamado así por David Rees , es un semigrupo determinado construido usando un semigrupo y un ideal del semigrupo .
Deje que S sea un semigrupo y que sea un ideal de S . Usando S e I, uno puede construir un nuevo semigrupo colapsando I en un solo elemento, mientras que los elementos de S fuera de I conservan su identidad. El nuevo semigrupo obtenida de esta manera se llama el factor de semigrupo Rees de S modulo I y se denota por S / I .
El concepto de semigrupo de factor de Rees fue introducido por David Rees en 1940. [1] [2]
Definicion formal
Un subconjunto de un semigrupo se llama un ideal de si ambos y son subconjuntos de (dónde , y de manera similar para ). Dejar ser un ideal de un semigrupo . La relación en definido por
- x ρ y ⇔ ya sea x = y o tanto x como y están en I
es una relación de equivalencia en . Las clases de equivalencia bajo son los conjuntos singleton con no en y el set . Desde es un ideal de , la relación es una congruencia en. [3] El semigrupo del cociente es, por definición, el factor de Rees semigrupo de modulo . Por conveniencia de notación, el semigrupo también se denota como . El semigrupo de factor de Rees [4] tiene un conjunto subyacente, dónde es un elemento nuevo y el producto (aquí denotado por ) es definido por
La congruencia en como se define arriba se llama la congruencia de Rees en modulo .
Ejemplo
Considere el semigrupo S = { a , b , c , d , e } con la operación binaria definida por la siguiente tabla de Cayley:
· | a | B | C | D | mi |
---|---|---|---|---|---|
a | a | a | a | D | D |
B | a | B | C | D | D |
C | a | C | B | D | D |
D | D | D | D | a | a |
mi | D | mi | mi | a | a |
Let Me = { a , d } que es un subconjunto de S . Desde
- SI = { aa , ba , ca , da , ea , ad , bd , cd , dd , ed } = { a , d } ⊆ I
- IS = { aa , da , ab , db , ac , dc , ad , dd , ae , de } = { a , d } ⊆ I
el conjunto I es un ideal de S . El semigrupo de factor de Rees de S módulo I es el conjunto S / I = { b , c , e , I } con la operación binaria definida por la siguiente tabla de Cayley:
· | B | C | mi | I |
---|---|---|---|---|
B | B | C | I | I |
C | C | B | I | I |
mi | mi | mi | I | I |
I | I | I | I | I |
Extensión ideal
Un semigrupo S se llama una extensión ideal de un semigrupo A por un semigrupo B si A es un ideal de S y el factor de Rees semigrupo S / A es isomorfo a B . [5]
Algunos de los casos que se han estudiado extensamente incluyen: extensiones ideales de semigrupos completamente simples , de un grupo por un semigrupo completamente 0-simple , de un semigrupo conmutativo con cancelación por un grupo con cero agregado. En general, el problema de describir todas las extensiones ideales de un semigrupo sigue abierto. [6]
Referencias
- ^ D. Rees (1940). "En semigrupos". Proc. Camb. Phil. Soc . 36 : 387–400. Señor 2, 127
- ^ Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (1961). La teoría algebraica de semigrupos. Vol. Yo . Encuestas Matemáticas, No. 7. Providence, RI: Sociedad Americana de Matemáticas . ISBN 978-0-8218-0272-4. Señor 0132791 .
- ^ Lawson (1998) Semigroups inversos: la teoría de simetrías parciales , página 60, enlace World Scientific con Google Books
- ^ Howie, John M. (1995), Fundamentos de la teoría del semigrupo , Clarendon Press , ISBN 0-19-851194-9
- ^ Mikhalev, Aleksandr Vasilʹevich; Pilz, Günter (2002). El conciso manual de álgebra . Springer . ISBN 978-0-7923-7072-7.(págs. 1-3)
- ^ Gluskin, LM (2001) [1994], "Extensión de un semi-grupo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Lawson, MV (1998). Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales . World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.
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