En matemáticas , un semigrupo es un conjunto no vacío junto con una operación binaria asociativa . Una clase especial de semigrupos es una clase de semigrupos que satisfacen propiedades o condiciones adicionales . Así, la clase de conmutativos semigroups consiste de todos aquellos semigroups en el que los satisface operación binaria la propiedad conmutatividad que ab = ba para todos los elementos a y b en la semigrupo. La clase de semigrupos finitos consiste en aquellos semigrupos para los cuales elel conjunto subyacente tiene cardinalidad finita . Los miembros de la clase de semigrupos Brandt deben satisfacer no solo una condición, sino un conjunto de propiedades adicionales. Se ha definido una gran colección de clases especiales de semigrupos, aunque no todos se han estudiado con la misma intensidad.
En la teoría algebraica de semigrupos, al construir clases especiales, la atención se centra solo en aquellas propiedades, restricciones y condiciones que pueden expresarse en términos de operaciones binarias en los semigrupos y ocasionalmente en la cardinalidad y propiedades similares de subconjuntos del conjunto subyacente . No se supone que los conjuntos subyacentes lleven ninguna otra estructura matemática como el orden o la topología .
Como en cualquier teoría algebraica, uno de los principales problemas de la teoría de semigrupos es la clasificación de todos los semigrupos y una descripción completa de su estructura. En el caso de los semigrupos, dado que se requiere la operación binaria para satisfacer solo la propiedad de asociatividad, el problema de clasificación se considera extremadamente difícil. Se han obtenido descripciones de estructuras para ciertas clases especiales de semigrupos. Por ejemplo, la estructura de los conjuntos de idempotentes de semigrupos regulares es completamente conocida. Las descripciones de la estructura se presentan en términos de tipos de semigrupos más conocidos. El tipo de semigrupo más conocido es el grupo .
A continuación se presenta una lista (necesariamente incompleta) de varias clases especiales de semigrupos. En la medida de lo posible, las propiedades definitorias se formulan en términos de las operaciones binarias en los semigrupos. Las referencias apuntan a las ubicaciones de donde se obtienen las propiedades definitorias.
Notaciones
Al describir las propiedades definitorias de las diversas clases especiales de semigrupos, se adoptan las siguientes convenciones de notación.
Notación | Significado |
---|---|
S | Semigrupo arbitrario |
mi | Conjunto de idempotentes en S |
GRAMO | Grupo de unidades en S |
I | Ideal mínimo de S |
V | Elementos regulares de S |
X | Conjunto arbitrario |
a , b , c | Elementos arbitrarios de S |
x , y , z | Elementos específicos de S |
e , f , g | Elementos arbitrarios de E |
h | Elemento específico de E |
l , m , n | Enteros positivos arbitrarios |
j , k | Enteros positivos específicos |
v , w | Elementos arbitrarios de V |
0 | Elemento cero de S |
1 | Elemento de identidad de S |
S 1 | S si 1 ∈ S ; S ∪ {1} si 1 ∉ S |
a ≤ L b a ≤ R b a ≤ H b a ≤ J b | S 1 a ⊆ S 1 b aS 1 ⊆ bS 1 S 1 a ⊆ S 1 b y aS 1 ⊆ bS 1 S 1 aS 1 ⊆ S 1 bS 1 |
L , R , H , D , J | Relaciones de Green |
L a , R a , H a , D a , J a | Clases verdes que contienen un |
El único poder de x que es idempotente. Este elemento existe, asumiendo que el semigrupo es (localmente) finito. Consulte variedad de semigrupos finitos para obtener más información sobre esta notación. | |
La cardinalidad de X , asumiendo que X es finito. |
Por ejemplo, la definición xab = xba debe leerse como:
- Existe x un elemento del semigrupo de tal manera que, para cada una y b en el semigrupo, xab y Xba son iguales.
Lista de clases especiales de semigrupos
La tercera columna indica si este conjunto de semigrupos forma una variedad . Y si el conjunto de semigrupos finitos de esta clase especial forma una variedad de semigrupos finitos . Tenga en cuenta que si este conjunto es una variedad, su conjunto de elementos finitos es automáticamente una variedad de semigrupos finitos.
Terminología | Definición de propiedad | Variedad de semigrupo finito | Referencia (s) |
---|---|---|---|
Semigrupo finito |
|
| |
Semigrupo vacío |
| No | |
Semigrupo trivial |
|
| |
Monoide |
| No | Gril p. 3 |
Banda (semigrupo idempotente) |
|
| C&P pág. 4 |
Banda rectangular |
|
| Fennemore |
Semirredura | Una banda conmutativa, es decir:
|
|
|
Semigrupo conmutativo |
|
| C&P pág. 3 |
Semigrupo conmutativo de Arquímedes |
| C&P pág. 131 | |
En ninguna parte semigrupo conmutativo |
| C&P pág. 26 | |
Dejó débilmente conmutativo |
| Nagy p. 59 | |
Derecha débilmente conmutativa |
| Nagy p. 59 | |
Débilmente conmutativo | Izquierda y derecha débilmente conmutativas. Es decir:
| Nagy p. 59 | |
Semigrupo condicionalmente conmutativo |
| Nagy p. 77 | |
R -semigrupo conmutativo |
| Nagy p. 69–71 | |
RC -semigrupo conmutativo |
| Nagy p. 93-107 | |
L -semigrupo conmutativo |
| Nagy p. 69–71 | |
LC -semigrupo conmutativo |
| Nagy p. 93-107 | |
H -semigrupo conmutativo |
| Nagy p. 69–71 | |
Semigrupo cuasi conmutativo |
| Nagy p. 109 | |
Semigrupo conmutativo derecho |
| Nagy p. 137 | |
Semigrupo conmutativo izquierdo |
| Nagy p. 137 | |
Semigrupo conmutativo externamente |
| Nagy p. 175 | |
Semigrupo medial |
| Nagy p. 119 | |
E- k semigrupo ( k fijo) |
|
| Nagy p. 183 |
Semigrupo exponencial |
|
| Nagy p. 183 |
WE- k semigrupo ( k fijo) |
| Nagy p. 199 | |
Débilmente exponencial semigrupo |
| Nagy p. 215 | |
Semigrupo cancelable derecho |
| C&P pág. 3 | |
Semigrupo cancelable a la izquierda |
| C&P pág. 3 | |
Semigrupo cancelativo | Semigrupo cancelador izquierdo y derecho, es decir
| C&P pág. 3 | |
'' E '' - semigrupo inverso ( E -semigrupo denso) |
| C&P pág. 98 | |
Semigrupo regular |
| C&P pág. 26 | |
Banda regular |
|
| Fennemore |
Semigrupo intra-regular |
| C&P pág. 121 | |
Semigrupo regular izquierdo |
| C&P pág. 121 | |
Banda regular izquierda |
|
| Fennemore |
Semigrupo regular derecho |
| C&P pág. 121 | |
Banda derecha-regular |
|
| Fennemore |
Semigrupo completamente regular |
| Gril p. 75 | |
(inverso) Clifford semigrupo |
|
| Petrich p. sesenta y cinco |
k -semigrupo regular ( k fijo) |
| Hari | |
Semigrupo eventualmente regular ( semigrupo π-regular, semigrupo cuasi regular) |
| Edwa Shum Higg pág. 49 | |
Semigrupo cuasiperiódico, epigrupo , semigrupo unido a grupo, semigrupo π completo (o fuertemente) regular y muchos otros; ver a Kela para una lista) |
| Kela Gril pág. 110 Higg pág. 4 | |
Semigrupo primitivo |
| C&P pág. 26 | |
Unidad regular semigrupo |
| Tvm | |
Semigrupo regular fuertemente unitario |
| Tvm | |
Semigrupo ortodoxo |
| Gril p. 57 Howi pág. 226 | |
Semigrupo inverso |
| C&P pág. 28 | |
Semigrupo inverso izquierdo ( R -unipotente) |
| Gril p. 382 | |
Semigrupo inverso derecho ( L -unipotente) |
| Gril p. 382 | |
Semigrupo localmente inverso (semigrupo pseudoinverso) |
| Gril p. 352 | |
M -semigrupo inverso |
| C&P pág. 98 | |
Semigrupo pseudoinverso (semigrupo inverso localmente) |
| Gril p. 352 | |
Abundante semigrupo |
| Chen | |
Rpp-semigroup (semigrupo proyectivo principal derecho) |
| Shum | |
Lpp-semigroup (semigrupo proyectivo principal izquierdo) |
| Shum | |
Semigrupo nulo ( semigrupo cero ) |
|
| C&P pág. 4 |
Semigrupo de cero a la izquierda |
|
| C&P pág. 4 |
Banda cero izquierda | Un semigrupo de cero a la izquierda que es una banda. Es decir:
|
|
|
Grupo izquierdo |
| C&P pág. 37, 38 | |
Semigrupo de cero a la derecha |
|
| C&P pág. 4 |
Banda cero derecha | Un semigrupo de cero a la derecha que es una banda. Es decir:
|
| Fennemore |
Grupo derecho |
| C&P pág. 37, 38 | |
Grupo abeliano derecho |
| Nagy p. 87 | |
Semigrupo unipotente |
|
| C&P pág. 21 |
Semigrupo reductor izquierdo |
| C&P pág. 9 | |
Semigrupo reductor derecho |
| C&P pág. 4 | |
Semigrupo reductor |
| C&P pág. 4 | |
Semigrupo separativo |
| C&P pág. 130-131 | |
Semigrupo reversible |
| C&P pág. 34 | |
Semigrupo reversible derecho |
| C&P pág. 34 | |
Semigrupo izquierdo reversible |
| C&P pág. 34 | |
Semigrupo aperiódico |
|
| |
ω-semigrupo |
| Gril p. 233–238 | |
Semigrupo de Clifford izquierdo (LC-semigrupo) |
| Shum | |
Semigrupo de Clifford derecho (RC-semigrupo) |
| Shum | |
Orthogroup |
| Shum | |
Semigrupo conmutativo completo |
| Gril p. 110 | |
Nilsemigroup (semigrupo nilpotente) |
|
|
|
Semigrupo elemental |
| Gril p. 111 | |
E -semigrupo unitario |
| Gril p. 245 | |
Semigrupo finamente presentado |
| Gril p. 134 | |
Semigrupo fundamental |
| Gril p. 88 | |
Semigrupo generado idempotente |
| Gril p. 328 | |
Semigrupo localmente finito |
|
| Gril p. 161 |
N -semigroup |
| Gril p. 100 | |
L -semigrupo unipotente (semigrupo inverso derecho) |
| Gril p. 362 | |
R -semigrupo unipotente (semigrupo inverso izquierdo) |
| Gril p. 362 | |
Semigrupo simple izquierdo |
| Gril p. 57 | |
Semigrupo simple derecho |
| Gril p. 57 | |
Semigrupo subelemental |
| Gril p. 134 | |
Semigrupo simétrico ( semigrupo de transformación completa ) |
| C&P pág. 2 | |
Semigrupo débilmente reductivo |
| C&P pág. 11 | |
Semigrupo sin ambigüedades a la derecha |
| Gril p. 170 | |
Se dejó un semigrupo inequívoco |
| Gril p. 170 | |
Semigrupo inequívoco |
| Gril p. 170 | |
Izquierda 0-inequívoca |
| Gril p. 178 | |
Derecha 0-inequívoca |
| Gril p. 178 | |
0-semigrupo inequívoco |
| Gril p. 178 | |
Semigrupo Putcha izquierdo |
| Nagy p. 35 | |
Semigrupo Putcha derecho |
| Nagy p. 35 | |
Putcha semigrupo |
| Nagy p. 35 | |
Semigrupo bisimple ( D -semigrupo simple) |
| C&P pág. 49 | |
Semigrupo 0-bisimple |
| C&P pág. 76 | |
Semigrupo completamente simple |
| C&P pág. 76 | |
Semigrupo completamente 0-simple |
| C&P pág. 76 | |
D -semigrupo simple (semigrupo bisimple) |
| C&P pág. 49 | |
Semisimple semigrupo |
| C&P pág. 71–75 | |
: Semigrupo simple |
|
|
|
0-semigrupo simple |
| C&P pág. 67 | |
Izquierda 0-semigrupo simple |
| C&P pág. 67 | |
Derecha 0-semigrupo simple |
| C&P pág. 67 | |
Semigrupo cíclico ( semigrupo monogénico ) |
|
| C&P pág. 19 |
Semigrupo periódico |
|
| C&P pág. 20 |
Semigrupo bicíclico |
| C&P pág. 43–46 | |
Semigrupo de transformación completa T X (semigrupo simétrico) |
| C&P pág. 2 | |
Banda rectangular |
|
| Fennemore |
Semigrupo rectangular |
| C&P pág. 97 | |
Semigrupo inverso simétrico I X |
| C&P pág. 29 | |
Brandt semigrupo |
| C&P pág. 101 | |
Semigrupo libre F X |
| Gril p. 18 | |
Rees matriz semigrupo |
| C&P pág.88 | |
Semigrupo de transformaciones lineales |
| C&P pág.57 | |
Semigrupo de relaciones binarias B X |
| C&P pág.13 | |
Semigrupo numérico |
| Delg | |
Semigroup con involución (* -semigroup) |
| Como yo | |
Semigrupo Baer-Levi |
| C&P II Capítulo 8 | |
U -semigroup |
| howi p.102 | |
Yo -semigrupo |
| howi p.102 | |
Semibanda |
| Howi p.230 | |
Grupo |
|
| |
Semigrupo topológico |
|
| Pin p. 130 |
Semigrupo sintáctico |
| Pin p. 14 | |
: los monoides R -triviales |
|
| Pin p. 158 |
: los L -monoides triviales |
|
| Pin p. 158 |
: los J -monoides triviales |
|
| Pin p. 158 |
: monoides idempotentes y R -triviales |
|
| Pin p. 158 |
: monoides idempotentes y L- triviales |
|
| Pin p. 158 |
: Semigroup cuyas D regulares son semigrupo |
|
| Pin págs. 154, 155, 158 |
: Semigrupo cuyas D regulares son semigrupo aperiódico |
|
| Pin p. 156, 158 |
/: Semigrupo trivial zurdo |
|
| Pin págs.149, 158 |
/: Semigrupo trivial derecho |
|
| Pin págs.149, 158 |
: Semigrupo localmente trivial |
|
| Pin págs. 150, 158 |
: Grupos locales |
|
| Pin págs. 151, 158 |
Terminología | Definición de propiedad | Variedad | Referencia (s) |
---|---|---|---|
Semigrupo ordenado |
|
| Pin p. 14 |
|
| Alfiler págs.157, 158 | |
|
| Alfiler págs.157, 158 | |
|
| Alfiler págs.157, 158 | |
|
| Alfiler págs.157, 158 | |
semigrupo J-trivial localmente positivo |
|
| Alfiler págs.157, 158 |
Referencias
[C&P] | AH Clifford , GB Preston (1964). La teoría algebraica de los semigrupos vol. I (segunda edición). Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-0272-4 | |
[C&P II] | AH Clifford, GB Preston (1967). La teoría algebraica de los semigrupos vol. II (segunda edición). Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0272-0 | |
[Chen] | Hui Chen (2006), "Construction of a kind of abundant semigroups", Mathematical Communications ( 11 ), 165-171 (consultado el 25 de abril de 2009) | |
[Delg] | M. Delgado y col. , Semigrupos numéricos , [1] (consultado el 27 de abril de 2009) | |
[Edwa] | PM Edwards (1983), "Eventually regular semigroups", Bulletin of Australian Mathematical Society 28 , 23–38 | |
[Gril] | PA Grillet (1995). Semigrupos . Prensa CRC . ISBN 978-0-8247-9662-4 | |
[Hari] | KS Harinath (1979), "Algunos resultados en k- semigrupos regulares", Indian Journal of Pure and Applied Mathematics 10 (11), 1422-1431 | |
[Como yo] | JM Howie (1995), Fundamentos de la teoría del semigrupo , Oxford University Press | |
[Nagy] | Attila Nagy (2001). Clases especiales de semigrupos . Springer . ISBN 978-0-7923-6890-8 | |
[Mascota] | M. Petrich, NR Reilly (1999). Semigrupos completamente regulares . John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-19571-9 | |
[Shum] | KP Shum "Semigrupos Rpp, sus generalizaciones y subclases especiales" en Advances in Algebra and Combinatorics editado por KP Shum et al. (2008), World Scientific , ISBN 981-279-000-4 (págs. 303–334) | |
[Tvm] | Actas del Simposio Internacional sobre Teoría de Semigrupos Regulares y Aplicaciones , Universidad de Kerala , Thiruvananthapuram , India , 1986 | |
[Kela] | AV Kelarev, Aplicaciones de epigrupos a la teoría de anillos graduados , Foro de semigrupos , Volumen 50, Número 1 (1995), 327-350 doi : 10.1007 / BF02573530 | |
[KKM] | Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalev (2000), Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs , Expositions in Mathematics 29 , Walter de Gruyter, Berlín, ISBN 978-3-11-015248-7 . | |
[Higg] | Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-853577-5. | |
[Alfiler] | Pin, Jean-Éric (30 de noviembre de 2016). Fundamentos matemáticos de la teoría de los autómatas (PDF) . | |
[Fennemore] | Fennemore, Charles (1970), "Todas las variedades de bandas", Semigroup Forum , 1 (1): 172-179, doi : 10.1007 / BF02573031 |