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En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un principio de reflexión dice que es posible encontrar conjuntos que se asemejen a la clase de todos los conjuntos. Hay varias formas diferentes del principio de reflexión dependiendo exactamente de lo que se entiende por "semejanza". Las formas débiles del principio de reflexión son teoremas de la teoría de conjuntos ZF debido a Montague (1961) , mientras que las formas más fuertes pueden ser axiomas nuevos y muy poderosos para la teoría de conjuntos.

El nombre "principio de reflexión" proviene del hecho de que las propiedades del universo de todos los conjuntos se "reflejan" en un conjunto más pequeño.

Motivación

Una versión ingenua del principio de reflexión establece que "para cualquier propiedad del universo de todos los conjuntos podemos encontrar un conjunto con la misma propiedad". Esto conduce a una contradicción inmediata: el universo de todos los conjuntos contiene todos los conjuntos, pero no hay ningún conjunto con la propiedad de que contenga todos los conjuntos. Para obtener principios de reflexión útiles (y no contradictorios), debemos tener más cuidado con lo que entendemos por "propiedad" y qué propiedades permitimos.

Para encontrar principios de reflexión no contradictorios, podríamos argumentar informalmente de la siguiente manera. Supongamos que tenemos una colección A de métodos para formar conjuntos (por ejemplo, tomar conjuntos de potencias, subconjuntos, el axioma de reemplazo, etc.). Podemos imaginar tomar todos los conjuntos obtenidos mediante la aplicación repetida de todos estos métodos y formar estos conjuntos en una clase V , que se puede considerar como un modelo de alguna teoría de conjuntos. Pero ahora podemos introducir el siguiente principio nuevo para formar conjuntos: "la colección de todos los conjuntos obtenidos de algún conjunto aplicando repetidamente todos los métodos en la colección A es también un conjunto". Si permitimos este nuevo principio para formar conjuntos, ahora podemos continuar más allá de V y considerar la clase Wde todos los conjuntos formados utilizando los principios A y el nuevo principio. En esta clase W , V es sólo un conjunto, cerrado en todas las operaciones de conjuntos de formación de A . En otras palabras el universo W contiene un conjunto V que se asemeja a W en que está cerrado en virtud de todos los métodos A .

Podemos utilizar este argumento informal de dos formas. Podemos intentar formalizarlo en (digamos) la teoría de conjuntos ZF; al hacer esto obtenemos algunos teoremas de la teoría de conjuntos ZF, llamados teoremas de reflexión. Alternativamente, podemos usar este argumento para motivar la introducción de nuevos axiomas para la teoría de conjuntos.

En ZFC

Al tratar de formalizar el argumento del principio de reflexión de la sección anterior en la teoría de conjuntos ZF, resulta necesario agregar algunas condiciones sobre la colección de propiedades A (por ejemplo, A podría ser finito). Hacer esto produce varios "teoremas de reflexión" estrechamente relacionados de ZFC, todos los cuales establecen que podemos encontrar un conjunto que es casi un modelo de ZFC.

Una forma del principio de reflexión en ZFC dice que para cualquier conjunto finito de axiomas de ZFC podemos encontrar un modelo transitivo contable que satisfaga estos axiomas. (En particular, esto prueba que, a menos que sea inconsistente, ZFC no es finitamente axiomatizable porque si lo fuera probaría la existencia de un modelo de sí mismo y, por lo tanto, probaría su propia consistencia, contradiciendo el segundo teorema de incompletitud de Gödel.) Esta versión del teorema de reflexión está estrechamente relacionado con el teorema de Löwenheim-Skolem .

Otra versión del principio de reflexión dice que para cualquier número finito de fórmulas de ZFC podemos encontrar un conjunto V α en la jerarquía acumulativa tal que todas las fórmulas del conjunto son absolutas para V α (lo que significa, aproximadamente, que se cumplen en V α si y solo si se mantienen en el universo de todos los conjuntos). Entonces esto dice que el conjunto V α se parece al universo de todos los conjuntos, al menos en lo que respecta al número finito dado de fórmulas. En particular, para cualquier fórmula de ZFC, existe un teorema de ZFC de que la fórmula es lógicamente equivalente a una versión de la misma con todos los cuantificadores relativizados a Vα Ver ( Jech 2002 , p. 168).

Si κ es un inaccesible fuerte, entonces hay un subconjunto C de κ cerrado e ilimitado , de modo que para cada α∈ C , la función de identidad de V α a V κ es una incrustación elemental.

Como nuevos axiomas

Bernays utilizó un principio de reflexión como axioma para una versión de la teoría de conjuntos (no la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel , que es una teoría más débil). Su principio de reflexión establecía aproximadamente que si A es una clase con alguna propiedad, entonces se puede encontrar un conjunto transitivo u tal que A∩u tenga la misma propiedad cuando se considera como un subconjunto del "universo" u . Este es un axioma bastante poderoso e implica la existencia de varios de los cardenales grandes más pequeños , como los cardenales inaccesibles.. (Hablando en términos generales, la clase de todos los ordinales en ZFC es un cardinal inaccesible aparte del hecho de que no es un conjunto, y el principio de reflexión se puede usar para mostrar que hay un conjunto que tiene la misma propiedad, en otras palabras que es un cardenal inaccesible). Desafortunadamente, esto no se puede axiomatizar directamente en ZFC, y normalmente se tiene que usar una teoría de clases como MK . La consistencia del principio de reflexión de Bernays está implícita en la existencia de un cardenal de ω-Erdős .

Hay muchos principios de reflexión más poderosos, que están estrechamente relacionados con los diversos axiomas cardinales grandes. Para casi todos los grandes axiomas cardinales conocidos existe un principio de reflexión conocido que lo implica y, a la inversa, todos los principios de reflexión conocidos, excepto los más poderosos, están implícitos en axiomas cardinales grandes conocidos ( Marshall R. 1989 ). Un ejemplo de esto es el axioma de totalidad , que implica la existencia de cardenales super-n-enormes para todos los n finitos y su consistencia está implícita en un cardinal de rango a rango I3 .

Referencias

Enlaces externos