En lógica matemática , se dice que una fórmula es absoluta si tiene el mismo valor de verdad en cada una de alguna clase [ aclarar ] de estructuras (también llamadas modelos). Los teoremas sobre lo absoluto suelen establecer relaciones entre lo absoluto de las fórmulas y su forma sintáctica.
Hay dos formas más débiles de absolutismo parcial. Si la verdad de una fórmula en cada subestructura N de una estructura M se sigue de su verdad en M , la fórmula es absoluta hacia abajo . Si la verdad de una fórmula en una estructura N implica su verdad en cada estructura M que se extiende a N , la fórmula es absoluta hacia arriba .
Las cuestiones de lo absoluto son particularmente importantes en la teoría de conjuntos y la teoría de modelos , campos en los que se consideran múltiples estructuras simultáneamente. En la teoría de modelos, varios resultados y definiciones básicos están motivados por el carácter absoluto. En la teoría de conjuntos, la cuestión de qué propiedades de los conjuntos son absolutas está bien estudiada. El teorema del absolutismo de Shoenfield , de Joseph Shoenfield (1961), establece el absolutismo de una gran clase de fórmulas entre un modelo de teoría de conjuntos y su universo construible , con importantes consecuencias metodológicas. También se estudia la absolutidad de los grandes axiomas cardinales , con resultados positivos y negativos conocidos.
En teoría de modelos
En la teoría de modelos , hay varios resultados y definiciones generales relacionados con el absoluto. Un ejemplo fundamental de absolutismo descendente es que las oraciones universales (aquellas con solo cuantificadores universales) que son verdaderas en una estructura también lo son en cada subestructura de la estructura original. Por el contrario, las oraciones existenciales son absolutas hacia arriba desde una estructura a cualquier estructura que la contenga.
Dos estructuras se definen como elementalmente equivalentes si están de acuerdo sobre el valor de verdad de todas las oraciones en su idioma compartido, es decir, si todas las oraciones en su idioma son absolutas entre las dos estructuras. Una teoría se define para ser modelo completo si cada vez que M y N son los modelos de la teoría y M es una subestructura de N , entonces M es una subestructura primaria de N .
En teoría de conjuntos
Una parte importante de la teoría de conjuntos moderna implica el estudio de diferentes modelos de ZF y ZFC. Es crucial para el estudio de tales modelos saber qué propiedades de un conjunto son absolutas para diferentes modelos. Es común comenzar con un modelo fijo de teoría de conjuntos y solo considerar otros modelos transitivos que contienen los mismos ordinales que el modelo fijo.
Ciertas propiedades son absolutas para todos los modelos transitivos de teoría de conjuntos, incluidas las siguientes (ver Jech (2003 sec. I.12) y Kunen (1980 sec. IV.3)).
- x es el conjunto vacío.
- x es un ordinal.
- x es un ordinal finito.
- x = ω.
- x es (la gráfica de) una función.
Otras propiedades, como la contabilidad, no son absolutas.
Fracaso del absolutismo para la contabilidad
La paradoja de Skolem es la aparente contradicción de que, por un lado, el conjunto de números reales es incontable (y esto se puede demostrar a partir de ZFC, o incluso a partir de un pequeño subsistema finito ZFC 'de ZFC), mientras que por otro lado existen modelos transitivos contables de ZFC '(esto se puede demostrar en ZFC), y el conjunto de números reales en tal modelo será un conjunto contable. La paradoja se puede resolver observando que la contabilidad no es absoluta para los submodelos de un modelo particular de ZFC. Es posible que un conjunto X sea contable en un modelo de teoría de conjuntos pero incontable en un submodelo que contenga X , porque el submodelo puede no contener biyección entre X y ω, mientras que la definición de contabilidad es la existencia de tal biyección. El teorema de Löwenheim-Skolem , cuando se aplica a ZFC, muestra que esta situación ocurre.
Teorema de absolutidad de Shoenfield
El teorema de absolutidad de Shoenfield muestra que y Las oraciones en la jerarquía analítica son absolutas entre un modelo V de ZF y el universo construible L del modelo, cuando se interpretan como declaraciones sobre los números naturales en cada modelo. El teorema se puede relativizar para permitir que la oración use conjuntos de números naturales de V como parámetros, en cuyo caso L debe ser reemplazado por el submodelo más pequeño que contenga esos parámetros y todos los ordinales. El teorema tiene corolarios de quelas oraciones son absolutas hacia arriba (si tal oración se cumple en L, entonces se cumple en V ) yLas oraciones son absolutas hacia abajo (si se mantienen en V, entonces se mantienen en L ). Dado que dos modelos transitivos cualesquiera de la teoría de conjuntos con los mismos ordinales tienen el mismo universo construible, el teorema de Shoenfield muestra que dos de esos modelos deben estar de acuerdo sobre la verdad de todos oraciones.
Una consecuencia del teorema de Shoenfield se relaciona con el axioma de elección . Gödel demostró que el universo construible L siempre satisface ZFC, incluido el axioma de elección, incluso cuando solo se supone que V satisface ZF. El teorema de Shoenfield muestra que si hay un modelo de ZF en el que un determinadola afirmación φ es falsa, entonces φ también es falsa en el universo construible de ese modelo. En contraposición, esto significa que si ZFC demuestra unsentencia entonces esa frase también es demostrable en ZF. El mismo argumento se puede aplicar a cualquier otro principio que siempre se mantenga en el universo construible, como el principio combinatorio ◊ . Incluso si estos principios son independientes de ZF, cada uno de susLas consecuencias ya se pueden demostrar en ZF. En particular, esto incluye cualquiera de sus consecuencias que se pueden expresar en el lenguaje (de primer orden) de la aritmética de Peano .
El teorema de Shoenfield también muestra que existen límites para los resultados de independencia que se pueden obtener forzando . En particular, cualquier oración de la aritmética de Peano es absoluta para los modelos transitivos de la teoría de conjuntos con los mismos ordinales. Por tanto, no es posible utilizar el forzamiento para cambiar el valor de verdad de las oraciones aritméticas, ya que el forzamiento no cambia los ordinales del modelo al que se aplica. Muchos problemas abiertos famosos, como la hipótesis de Riemann y el problema P = NP , se pueden expresar como oraciones (u oraciones de menor complejidad) y, por lo tanto, no se puede probar que es independiente de ZFC forzando.
Grandes cardenales
Hay ciertos grandes cardinales que no pueden existir en el universo construible ( L ) de ningún modelo de teoría de conjuntos. Sin embargo, el universo construible contiene todos los números ordinales que contiene el modelo original de teoría de conjuntos. Esta "paradoja" puede resolverse observando que las propiedades definitorias de algunos grandes cardenales no son absolutas para los submodelos.
Un ejemplo de tal axioma cardinal grande no absoluto es para cardinales mensurables ; para que un ordinal sea un cardinal mensurable, debe existir otro conjunto (la medida) que satisfaga ciertas propiedades. Se puede demostrar que tal medida no es factible.
Ver también
Referencias
- Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 .
- Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .
- Shoenfield, Joseph , 1961. "El problema de la predicatividad", Ensayos sobre los fundamentos de las matemáticas , Y. Bar-Hillel et al. , eds., págs. 132-142.