En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , una incrustación de rango en rango es una gran propiedad cardinal definida por uno de los siguientes cuatro axiomas dados en orden de fuerza de consistencia creciente. (Un conjunto de rango <λ es uno de los elementos del conjunto V λ de la jerarquía de von Neumann ).
- Axioma I3: Hay una incrustación elemental no trivial de V λ en sí mismo.
- Axioma I2: Hay una incrustación elemental no trivial de V en una clase transitiva M que incluye V λ donde λ es el primer punto fijo por encima del punto crítico .
- Axioma I1: Hay una incrustación elemental no trivial de V λ + 1 en sí mismo.
- Axioma I0: Hay una incrustación elemental no trivial de L (V λ + 1 ) en sí mismo con un punto crítico por debajo de λ.
Estos son esencialmente los axiomas cardinales grandes conocidos más fuertes que no se sabe que sean inconsistentes en ZFC ; el axioma de los cardenales Reinhardt es más fuerte, pero no es coherente con el axioma de elección .
Si j es la incrustación elemental mencionada en uno de estos axiomas y κ es su punto crítico , entonces λ es el límite decuando n va a ω. De manera más general, si se cumple el axioma de elección , se puede demostrar que si hay una incrustación elemental no trivial de V α en sí mismo, entonces α es un ordinal límite de cofinalidad ω o el sucesor de dicho ordinal.
Al principio se sospechó que los axiomas I0, I1, I2 e I3 eran inconsistentes (en ZFC), ya que se pensó que el teorema de inconsistencia de Kunen de que los cardenales de Reinhardt son inconsistentes con el axioma de elección podría extenderse a ellos, pero esto no ha sido posible. Sin embargo, sucedió y ahora generalmente se cree que son consistentes.
Cada I0 cardinal κ (hablando aquí del punto crítico de j ) es un I1 cardinal.
Cada I1 cardinal κ (a veces llamado ω-cardenales enormes) es un cardenal I2 y tiene un conjunto estacionario de cardenales I2 debajo de él.
Cada I2 cardinal κ es un I3 cardinal y tiene un conjunto estacionario de I3 cardinales debajo.
Cada I3 cardinal κ tiene otro I3 cardinal encima y es un n - enorme cardinal para cada n <ω.
El axioma I1 implica que V λ + 1 (equivalentemente, H (λ + )) no satisface V = HOD. No hay un conjunto S⊂λ definible en V λ + 1 (incluso a partir de los parámetros V λ y ordinales <λ + ) con S cofinal en λ y | S | <λ, es decir, no hay tales S testigos de que λ es singular. Y de manera similar para Axiom I0 y definibilidad ordinal en L (V λ + 1 ) (incluso a partir de parámetros en V λ ). Sin embargo, globalmente, e incluso en V λ , [1] V = HOD es relativamente consistente con Axiom I1.
Observe que I0 a veces se refuerza aún más agregando un "conjunto de Ícaro", de modo que sería
- Conjunto del axioma de Ícaro: hay una incrustación elemental no trivial de L (V λ + 1 , Ícaro) en sí mismo con el punto crítico por debajo de λ.
El conjunto de Ícaro debe estar en V λ + 2 - L (V λ + 1 ) pero elegido para evitar crear una inconsistencia. Entonces, por ejemplo, no puede codificar un buen orden de V λ + 1 . Consulte la sección 10 de Dimonte para obtener más detalles.
Notas
- ^ Consistencia de V = HOD con el axioma de totalidad, Paul Corazza , Archivo de lógica matemática, No. 39, 2000.
Referencias
- Dimonte, Vincenzo (2017), "I0 y axiomas de rango en rango", arXiv : 1707.02613 [ math.LO ].
- Gaifman, Haim (1974), " Incrustaciones elementales de modelos de teoría de conjuntos y ciertas subteorías", Teoría de conjuntos axiomática , Proc. Simpos. Pure Math., XIII, Part II, Providence RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 33-101, MR 0376347
- Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior: Grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2a ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
- Laver, Richard (1997), "Implicaciones entre axiomas cardinales grandes y fuertes", Ann. Pure Appl. Lógica , 90 (1–3): 79–90, doi : 10.1016 / S0168-0072 (97) 00031-6 , MR 1489305.
- Solovay, Robert M .; Reinhardt, William N .; Kanamori, Akihiro (1978), "Axiomas fuertes del infinito y las incrustaciones elementales", Annals of Mathematical Logic , 13 (1): 73-116, doi : 10.1016 / 0003-4843 (78) 90031-1.