La teoría de la renovación es la rama de la teoría de la probabilidad que generaliza el proceso de Poisson para tiempos de espera arbitrarios. En lugar de tiempos de espera distribuidos exponencialmente , un proceso de renovación puede tener tiempos de espera independientes e idénticamente distribuidos (IID) que tengan una media finita. Un proceso de renovación-recompensa además tiene una secuencia aleatoria de recompensas incurridas en cada tiempo de espera, que son IID pero no necesitan ser independientes de los tiempos de espera.
Un proceso de renovación tiene propiedades asintóticas análogas a la ley fuerte de los grandes números y al teorema del límite central . La función de renovación (número esperado de llegadas) y función de recompensa (valor de recompensa esperado) son de importancia clave en la teoría de la renovación. La función de renovación satisface una ecuación integral recursiva, la ecuación de renovación. La ecuación de renovación clave da el valor límite de la convolución decon una función no negativa adecuada. La superposición de procesos de renovación se puede estudiar como un caso especial de los procesos de renovación de Markov .
Las aplicaciones incluyen calcular la mejor estrategia para reemplazar maquinaria gastada en una fábrica y comparar los beneficios a largo plazo de diferentes pólizas de seguro. La paradoja de la inspección se relaciona con el hecho de que la observación de un intervalo de renovación en el tiempo t da un intervalo con un valor promedio mayor que el de un intervalo de renovación promedio.
Procesos de renovación
Introducción
El proceso de renovación es una generalización del proceso de Poisson . En esencia, el proceso de Poisson es un proceso de Markov de tiempo continuo en los enteros positivos (generalmente comenzando en cero) que tiene tiempos de retención independientes distribuidos exponencialmente en cada entero. antes de avanzar al siguiente entero, . En un proceso de renovación, los tiempos de espera no necesitan tener una distribución exponencial; más bien, los tiempos de espera pueden tener cualquier distribución en los números positivos, siempre que los tiempos de espera sean independientes e idénticamente distribuidos ( IID ) y tengan una media finita.
Definicion formal
Dejar ser una secuencia de variables aleatorias positivas independientes distribuidas de forma idéntica de modo que
Nos referimos a la variable aleatoria como el "-ésimo tiempo de espera ".
es la expectativa de.
Defina para cada n > 0:
cada se conoce como el "-th tiempo de salto "y los intervalos se denominan "intervalos de renovación".
Luego viene dado por una variable aleatoria
dónde es la función del indicador
representa el número de saltos que se han producido en el tiempo t , y se denomina proceso de renovación.
Interpretación
Si uno considera los eventos que ocurren en momentos aleatorios, puede optar por pensar en los tiempos de espera. como el tiempo aleatorio transcurrido entre dos eventos consecutivos. Por ejemplo, si el proceso de renovación está modelando el número de averías de diferentes máquinas, entonces el tiempo de espera representa el tiempo entre una máquina averiada antes que otra.
El proceso de Poisson es el proceso de renovación único con la propiedad de Markov , [1] ya que la distribución exponencial es la única variable aleatoria continua con la propiedad de la falta de memoria.
Procesos de renovación-recompensa
Dejar ser una secuencia de variables aleatorias de IID ( recompensas ) que satisfagan
Entonces la variable aleatoria
se llama proceso de renovación-recompensa . Tenga en cuenta que a diferencia del, cada puede tomar tanto valores negativos como positivos.
La variable aleatoria depende de dos secuencias: los tiempos de espera y las recompensas Estas dos secuencias no necesitan ser independientes. En particular, puede ser una función de .
Interpretación
En el contexto de la interpretación anterior de los tiempos de espera como el tiempo entre fallos sucesivos de una máquina, las "recompensas" (que en este caso resultan ser negativos) pueden considerarse como los sucesivos costes de reparación incurridos como consecuencia de las sucesivas averías.
Una analogía alternativa es que tenemos una gallina mágica que pone huevos a intervalos (tiempos de espera) distribuidos como . A veces pone huevos de oro de peso aleatorio, y otras veces pone huevos tóxicos (también de peso aleatorio) que requieren una eliminación responsable (y costosa). Las "recompensas"son las pérdidas / ganancias financieras sucesivas (aleatorias) resultantes de huevos sucesivos ( i = 1,2,3, ...) yregistra la "recompensa" financiera total en el momento t .
Función de renovación
Definimos la función de renovación como el valor esperado del número de saltos observados hasta algún tiempo:
Teorema de renovación elemental
La función de renovación satisface
Prueba La fuerte ley de los grandes números para los procesos de renovación implica Para probar el teorema de la renovación elemental, basta con demostrar que es uniformemente integrable.
Para hacer esto, considere algún proceso de renovación truncado donde los tiempos de espera están definidos por dónde es un punto tal que que existe para todos los procesos de renovación no deterministas. Este nuevo proceso de renovación es un límite superior en y sus renovaciones solo pueden ocurrir en la celosía . Además, el número de renovaciones en cada momento es geométrico con el parámetro. Entonces tenemos
Teorema de renovación elemental para procesos de recompensa de renovación
Definimos la función de recompensa :
La función de recompensa satisface
Ecuación de renovación
La función de renovación satisface
dónde es la función de distribución acumulativa de y es la función de densidad de probabilidad correspondiente.
Prueba [2] Podemos iterar la expectativa sobre el primer tiempo de espera: A partir de la definición del proceso de renovación, tenemos
Entonces
según sea necesario.
Teorema de renovación clave
Sea X un proceso de renovación con función de renovación y media entre renovaciones . Dejar ser una función que satisfaga:
- g es monótono y no aumenta
El teorema de la renovación de claves establece que, como : [3]
Teorema de renovación
Considerando para cualquier da como caso especial el teorema de renovación: [4]
- como
El resultado puede demostrarse mediante ecuaciones integrales o mediante un argumento de acoplamiento . [5] Aunque es un caso especial del teorema de renovación de claves, puede usarse para deducir el teorema completo, considerando funciones escalonadas y luego aumentando las secuencias de funciones escalonadas. [3]
Propiedades asintóticas
Los procesos de renovación y los procesos de renovación-recompensa tienen propiedades análogas a la ley fuerte de los grandes números , que puede derivarse del mismo teorema. Si es un proceso de renovación y es un proceso de renovación-recompensa entonces:
casi seguro.
Prueba Primero considera . Por definición tenemos: para todos y entonces
para todo t ≥ 0.
Ahora desde tenemos:
como casi seguro (con probabilidad 1). Por eso:
casi con seguridad (usando la ley fuerte de los grandes números); similar:
casi seguro.
Así (desde está intercalado entre los dos términos)
casi seguro. [3]
A continuación, considere . Tenemos
casi seguro (usando el primer resultado y usando la ley de los grandes números en ).
Los procesos de renovación tienen además una propiedad análoga al teorema del límite central : [6]
Paradoja de la inspección
Una característica curiosa de los procesos de renovación es que si esperamos un tiempo predeterminado t y luego observamos qué tan grande es el intervalo de renovación que contiene t , deberíamos esperar que sea típicamente mayor que un intervalo de renovación de tamaño promedio.
Matemáticamente, la paradoja de la inspección establece: para cualquier t> 0, el intervalo de renovación que contiene t es estocásticamente mayor que el primer intervalo de renovación. Es decir, para todo x > 0 y para todo t > 0:
donde F S es la función de distribución acumulativa de los tiempos de retención del IID S i .
La resolución de la paradoja es que nuestra distribución muestreada en el momento t está sesgada por el tamaño, en el sentido de que la probabilidad de que se elija un intervalo es proporcional a su tamaño. Sin embargo, un intervalo de renovación de tamaño medio no está sesgado por el tamaño.
Prueba Observe que el último tiempo de salto antes de t es; y que el intervalo de renovación que contiene t es. Luego ya que ambos y son mayores o iguales que para todos los valores de s .
Superposición
A menos que el proceso de renovación sea un proceso de Poisson, la superposición (suma) de dos procesos de renovación independientes no es un proceso de renovación. [7] Sin embargo, estos procesos pueden describirse dentro de una clase más amplia de procesos denominados procesos de renovación de Markov . [8] Sin embargo, la función de distribución acumulativa del primer tiempo entre eventos en el proceso de superposición viene dada por [9]
donde R k ( t ) y α k > 0 son la CDF de los tiempos entre eventos y la tasa de llegada del proceso k . [10]
Aplicación de ejemplo
Eric, el empresario, tiene n máquinas, cada una de las cuales tiene una vida útil distribuida uniformemente entre cero y dos años. Eric puede dejar que cada máquina funcione hasta que falle con un costo de reemplazo de 2600 €; alternativamente, puede sustituir una máquina en cualquier momento mientras aún esté en funcionamiento por un coste de 200 €.
¿Cuál es su política de reemplazo óptima?
Solución La vida útil de las n máquinas se puede modelar como n procesos de renovación-recompensa simultáneos independientes, por lo que es suficiente considerar el caso n = 1 . Denote este proceso por. Las vidas sucesivas S de las máquinas de reemplazo son independientes y están distribuidas de manera idéntica, por lo que la política óptima es la misma para todas las máquinas de reemplazo en el proceso. Si Eric decide al comienzo de la vida útil de una máquina reemplazarla en el tiempo 0 < t <2 pero la máquina falla antes de ese momento, entonces la vida útil S de la máquina se distribuye uniformemente en [0, t ] y, por lo tanto, tiene una expectativa de 0.5 t . Entonces, la vida útil total esperada de la máquina es:
y el costo W esperado por máquina es:
Entonces, según la fuerte ley de los grandes números, su costo promedio a largo plazo por unidad de tiempo es:
luego diferenciando con respecto a t :
esto implica que los puntos de inflexión satisfacen:
y por lo tanto
Tomamos la única solución t en [0, 2]: t = 2/3. De hecho, esto es un mínimo (y no un máximo) ya que el costo por unidad de tiempo tiende a infinito cuando t tiende a cero, lo que significa que el costo disminuye a medida que t aumenta, hasta el punto 2/3 donde comienza a aumentar.
Ver también
- Teorema de Campbell (probabilidad)
- Proceso de Poisson compuesto
- Proceso de Markov en tiempo continuo
- Lema del pequeño
- Teorema de Palm-Khintchine
- Proceso de Poisson
- Teoría de las colas
- Tiempo residual
- Teoría de la ruina
- Proceso Semi-Markov
Notas
- ^ Grimmett y Stirzaker (1992) , p. 393.
- ^ Grimmett y Stirzaker (1992) , p. 390.
- ↑ a b c Grimmett y Stirzaker (1992) , p. 395.
- ^ Feller (1971) , p. 347–351.
- ^ Grimmett y Stirzaker (1992) , p. 394–5.
- ↑ a b Grimmett y Stirzaker (1992) , p. 394.
- ^ Grimmett y Stirzaker (1992) , p. 405.
- ^ Çinlar, Erhan (1969). "Teoría de la renovación de Markov". Avances en probabilidad aplicada . Fideicomiso de probabilidad aplicada. 1 (2): 123–187. doi : 10.2307 / 1426216 . JSTOR 1426216 .
- ^ Lawrence, AJ (1973). "Dependencia de intervalos entre eventos en procesos de superposición". Revista de la Royal Statistical Society. Serie B (Metodológica) . 35 (2): 306–315. doi : 10.1111 / j.2517-6161.1973.tb00960.x . JSTOR 2984914 . fórmula 4.1
- ^ Choungmo Fofack, Nicaise; Naín, Philippe; Neglia, Giovanni; Towsley, Don . "Análisis de redes de caché basadas en TTL" . Actas de la 6ª Conferencia Internacional sobre Metodologías y Herramientas de Evaluación del Desempeño . Consultado el 15 de noviembre de 2012 .
Referencias
- Cox, David (1970). Teoría de la renovación . Londres: Methuen & Co. p. 142. ISBN 0-412-20570-X.
- Doob, JL (1948). "Teoría de la renovación desde el punto de vista de la teoría de la probabilidad" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 63 (3): 422–438. doi : 10.2307 / 1990567 . JSTOR 1990567 .
- Feller, William (1971). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 2 (segunda ed.). Wiley.
- Grimmett, GR ; Stirzaker, DR (1992). Probabilidad y procesos aleatorios (segunda ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0198572220.
- Smith, Walter L. (1958). "Teoría de la renovación y sus ramificaciones". Revista de la Sociedad Real de Estadística, Serie B . 20 (2): 243-302. JSTOR 2983891 .
- Wanli Wang, Johannes HP Schulz, Weihua Deng y Eli Barkai (2018). "Teoría de la renovación con tiempos de estancia distribuidos de cola gruesa: típico versus raro". Phys. Rev. E . 98 (4): 042139. arXiv : 1809.05856 . Código Bibliográfico : 2018PhRvE..98d2139W . doi : 10.1103 / PhysRevE.98.042139 .