En matemáticas aplicadas, la serie regresiva discreta de Fourier (RDFS) es una generalización de la transformada discreta de Fourier donde los coeficientes de la serie de Fourier se calculan en un sentido de mínimos cuadrados y el período es arbitrario, es decir, no necesariamente igual a la longitud de los datos. Fue propuesto por primera vez por Arruda (1992a, 1992b). Se puede utilizar para suavizar datos en una o más dimensiones y para calcular derivadas de la curva suavizada, superficie o hipersuperficie .
Técnica
Serie de Fourier discreta regresiva unidimensional
El RDFS unidimensional propuesto por Arruda (1992a) se puede formular de una manera muy sencilla. Dado un vector de datos muestreado ( señal ), se puede escribir la expresión algebraica:
Típicamente , Pero esto no es necesario.
La ecuación anterior se puede escribir en forma de matriz como
La solución de mínimos cuadrados del sistema lineal de ecuaciones anterior se puede escribir como:
dónde es la transposición conjugada de , y la señal suavizada se obtiene de:
La primera derivada de la señal suavizada se puede obtener de:
Serie de Fourier discreta regresiva bidimensional (RDFS)
El RDFS bidimensional o bidimensional propuesto por Arruda (1992b) también se puede formular de manera sencilla. Aquí, el caso de datos igualmente espaciados se tratará en aras de la simplicidad. Los casos generales de cuadrícula arbitrarios y no equidistantes se dan en la referencia (Arruda, 1992b). Dada una matriz de datos muestreada ( señal bidimensional ) se puede escribir la expresión algebraica:
La ecuación anterior se puede escribir en forma de matriz para una cuadrícula rectangular. Para el caso de muestreo igualmente espaciado: tenemos:
Se puede demostrar que la solución de mínimos cuadrados es:
y la superficie bidimensional suavizada viene dada por:
dónde es el conjugado, y es la transposición de .
Diferenciación con respecto a se puede implementar fácilmente de forma análoga al caso unidimensional (Arruda, 1992b).
Aplicaciones actuales
- Aplicaciones de condensación de datos espacialmente densos : Arruda, JRF [1993] aplicó el RDFS para condensar mediciones espaciales espacialmente densas realizadas con un vibrómetro láser Doppler antes de aplicar métodos de estimación de parámetros de análisis modal . Más recientemente, Vanherzeele et al. (2006,2008a) propuso un RDFS generalizado y optimizado para el mismo tipo de aplicación. Vanherzeele et al. (2009).
- Aplicaciones derivadas espaciales : Batista et al. [2009] aplicó RDFS para obtener derivados espaciales de datos de vibración medidos bidimensionales para identificar las propiedades del material a partir de modos transversales de placas rectangulares.
- Aplicaciones de SHM : Vanherzeele et al. [2009] aplicó una versión generalizada del RDFS a la reconstrucción por tomografía .
Software
Recientemente, se desarrolló un paquete que incluye RDFS unidimensional y bidimensional para facilitar su uso en el software libre y de código abierto R:
Ver también
Referencias
- Arruda, JRF, 1992a: Análisis de datos no igualmente espaciados utilizando una serie regresiva discreta de Fourier. Journal of Sound and Vibration, 156 (3), 571–574.
- Arruda, JRF, 1992b: Suavizado de superficie y derivadas espaciales parciales utilizando una serie regresiva discreta de Fourier. Sistemas mecánicos y procesamiento de señales, 6 (1), 41–50.
- Arruda, JRF, 1993: Análisis modal de dominio espacial de estructuras ligeramente amortiguadas utilizando velocímetros láser. Journal of Vibration and Acoustics, 115, 225-231.
- Batista, FB, Albuquerque, EL, Arruda, JRF, Dias Jr., M., 2009: Identificación de la rigidez a la flexión de laminados simétricos mediante series regresivas discretas de Fourier y diferencias finitas. Journal of Sound and Vibration, 320, 793–807.
- Vanherzeele, J., Guillaume, P., Vanlanduit, S., Verboten, P., 2006: Reducción de datos utilizando una serie discreta regresiva generalizada de Fourier, Journal of Sound and Vibration, 298, 1-11.
- Vanherzeele, J., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2008a: Reducción de datos espaciales utilizando una serie discreta regresiva optimizada de Fourier, Journal of Sound and Vibration, 309, 858–867.
- Vanherzeele, J., Longo, R., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2008b: Reconstrucción tomográfica utilizando una serie de Fourier discreta regresiva generalizada , Sistemas mecánicos y procesamiento de señales, 22, 1237-1247.
- Vanherzeele, J., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2009: Procesamiento de medidas ópticas utilizando una serie regresiva discreta de Fourier, Óptica y láseres en ingeniería, 47, 461–472.