Cardenal regular
En la teoría de conjuntos , un cardinal regular es un número cardinal que es igual a su propia cofinalidad . Más explícitamente, esto significa que es un cardinal regular si y solo si cada subconjunto ilimitado tiene cardinalidad . Los cardenales infinitos bien ordenados que no son regulares se llaman cardenales singulares . Los números cardinales finitos no suelen denominarse regulares ni singulares.
En presencia del axioma de elección , cualquier número cardinal puede estar bien ordenado, y los siguientes son equivalentes para un cardinal :
Hablando crudamente, esto significa que un cardenal regular es uno que no se puede dividir en una pequeña cantidad de partes más pequeñas.
La situación es un poco más complicada en contextos donde el axioma de elección puede fallar, ya que en ese caso no todos los cardinales son necesariamente cardinalidades de conjuntos bien ordenados. En ese caso, la equivalencia anterior se aplica únicamente a los cardenales que se pueden ordenar.
Un ordinal infinito es un ordinal regular si es un ordinal límite que no es el límite de un conjunto de ordinales más pequeños que, como conjunto, tiene un tipo de orden menor que . Un ordinal regular es siempre un ordinal inicial , aunque algunos ordinales iniciales no son regulares, por ejemplo, (ver el ejemplo a continuación).
Los ordinales menores que son finitos. Una secuencia finita de ordinales finitos siempre tiene un máximo finito, por lo que no puede ser el límite de ninguna secuencia de tipo menor que cuyos elementos son ordinales menores que , y por lo tanto es un ordinal regular. ( aleph-null ) es un cardinal regular porque su ordinal inicial`` es regular. También puede verse directamente como regular, ya que la suma cardinal de un número finito de números cardinales finitos es finita en sí misma.
