En matemáticas , deja que A sea un conjunto y dejar ≤ sea una relación binaria en A . Entonces, un subconjunto B ⊆ A se dice que es cofinal o frecuente [1] en A si satisface la siguiente condición:
- Para cada a ∈ A , existe un b ∈ B tal que a ≤ b .
Un subconjunto que no es frecuente se denomina infrecuente . [1] Esta definición se aplica más comúnmente cuando A es un conjunto parcialmente ordenado (o más particularmente un conjunto dirigido ) bajo la relación ≤ .
Los subconjuntos cofinales son muy importantes en la teoría de redes y conjuntos dirigidos , donde " subred cofinal " es la generalización apropiada de " subsecuencia ". También son importantes en la teoría de la orden , incluyendo la teoría de los números cardinales , donde el mínimo posible cardinalidad de un subconjunto de cofinal A se conoce como el cofinality de A .
Se dice que un subconjunto B ⊆ A es coinicial (o denso en el sentido de forzar ) si cumple la siguiente condición:
- Para cada a ∈ A , existe un b ∈ B tal que b ≤ a .
Este es el dual de la teoría del orden a la noción de subconjunto cofinal.
Tenga en cuenta que los subconjuntos cofinal y coinicial son densos en el sentido de la topología de orden apropiada (derecha o izquierda) .
Propiedades
La relación cofinal sobre conjuntos parcialmente ordenados (" posets ") es reflexiva : cada poset es cofinal en sí mismo. También es transitivo : si B es un subconjunto cofinal de un poset A , y C es un subconjunto cofinal de B (con la ordenación parcial de A aplicada a B ), entonces C es también un subconjunto cofinal de A .
Para un conjunto parcialmente ordenado con elementos máximos , cada subconjunto cofinal debe contener todos los elementos máximos ; de lo contrario, un elemento máximo que no esté en el subconjunto no sería menor o igual que cualquier elemento del subconjunto, violando la definición de cofinal. Para un conjunto parcialmente ordenado con un elemento mayor , un subconjunto es cofinal si y solo si contiene ese elemento mayor (esto se sigue, ya que un elemento mayor es necesariamente un elemento máximo). Los conjuntos parcialmente ordenados sin elemento mayor o elementos máximos admiten subconjuntos cofinales disjuntos. Por ejemplo, los números naturales pares e impares forman subconjuntos cofinales disjuntos del conjunto de todos los números naturales.
Si un conjunto parcialmente ordenado Un admite un totalmente ordenado subconjunto cofinal, entonces podemos encontrar un subconjunto B que es bien ordenado y cofinal en una .
Si ( A , ≤) es un conjunto dirigido y si B ⊆ A es un subconjunto cofinal de A, entonces ( B , ≤) también es un conjunto dirigido. [1]
Ejemplos y condiciones suficientes
Cualquier superconjunto de un subconjunto cofinal es en sí mismo cofinal. [1] Si ( A , ≤) es un conjunto preordenado y si alguna unión de (uno o más) un número finito de subconjuntos es cofinal entonces al menos uno del conjunto es cofinal. [1]
Conjunto final de subconjuntos
Se da un caso particular pero importante si A es un subconjunto del conjunto de potencias P ( E ) de algún conjunto E , ordenado por inclusión inversa (⊇). Dado este orden de A , un subconjunto B ⊆ A es cofinal en A si para cada a ∈ A hay un b ∈ B tal que a ⊇ b .
Por ejemplo, sea E un grupo y sea A el conjunto de subgrupos normales de índice finito . La finalización profinito de E se define como el límite inverso del sistema inverso de los cocientes finitos de E (que son parametrizados por el conjunto A ). En esta situación, cada subconjunto de cofinal A es suficiente para construir y describir la finalización de profinito E .
Nociones relacionadas
Un mapa f : X → A entre dos conjuntos dirigidos se dice que es definitivo [2] si el rango de f ( X ) de f es un subconjunto cofinal de A .
Ver también
- Cofinita
- Cofinalidad
- Conjunto superior : un subconjunto U de un conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) que contiene todos los elementos y de P para los que hay una x en U con x ≤ y
Referencias
- Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .