En matemática finita teoría de grupos , el concepto de regulares p -Group capturas de algunas de las propiedades más importantes de abelianos p -grupos , pero es lo suficientemente general para incluir la mayoría de los "pequeños" p -grupos. Phillip Hall ( 1934 ) introdujo los grupos p regulares .
Definición
A finito p -Grupo G se dice que es normal si cualquiera de los siguientes equivalente ( Sala 1959 , (, Ch 12.4.) Huppert 1967 , Kap III §10.) Se satisfacen las condiciones:
- Para cada una , b en G , hay una c en el subgrupo derivado H 'del subgrupo H de G generada por una y b , de manera que una p · b p = ( ab ) p · c p .
- Para cada una , b en G , hay elementos c i en el subgrupo derivado del subgrupo generado por un y b , de manera que una p · b p = ( ab ) p · c 1 p ⋯ c k p .
- Para cada una , b en G y cada número entero positivo n , hay elementos c i en el subgrupo derivado del subgrupo generado por un y b tales que un q · b q = ( ab ) q · c 1 q ⋯ c k q , donde q = p n .
Ejemplos de
Muchos p -groups familiares son regulares:
- Cada grupo p abeliano es regular.
- Cada p -grupo de clase de nilpotencia estrictamente menor que p es regular. Esto se deriva de la identidad Hall-Petresco .
- Cada p -grupo de orden a lo sumo p p es regular.
- Todo grupo finito de exponente p es regular.
Sin embargo, muchos p -groups familiares no son regulares:
- Cada grupo 2 no beliano es irregular.
- El Sylow p -subgroup del grupo simétrico en p 2 puntos es irregular y de orden p p 1 .
Propiedades
Un grupo p es regular si y solo si cada subgrupo generado por dos elementos es regular.
Cada subgrupo y grupo cociente de un grupo regular es regular, pero no es necesario que el producto directo de los grupos regulares sea regular.
Un grupo 2 es regular si y solo si es abeliano. Un grupo 3 con dos generadores es regular si y solo si su subgrupo derivado es cíclico . Cada p -grupo de orden impar con subgrupo derivado cíclico es regular.
El subgrupo de un p -grupo G generado por los elementos de orden que dividen p k se denota Ω k ( G ) y los grupos regulares se comportan bien en que Ω k ( G ) es precisamente el conjunto de elementos de orden que dividen p k . El subgrupo generado por todas las p k -ésimas potencias de los elementos en G se denota ℧ k ( G ) . En un grupo regular, el índice [G: ℧ k ( G )] es igual al orden de Ω k ( G ). De hecho, los conmutadores y los poderes interactúan de formas particularmente simples ( Huppert 1967 , Kap III §10, Satz 10.8). Por ejemplo, los subgrupos normales dadas M y N de un habitual p -Grupo G y enteros no negativos m y n , se tiene [℧ m ( M ), ℧ n ( N )] = ℧ m + n ([ M , N ]) .
- Criterios de regularidad de Philip Hall de un p -grupo G : G es regular, si se cumple uno de los siguientes:
- [ G : ℧ 1 ( G )] < p p
- [ G ′: ℧ 1 ( G ′ ) | < p p −1
- | Ω 1 ( G ) | < p p −1
Generalizaciones
- Potente grupo p
- de potencia cerrado p -group
Referencias
- Hall, Marshall (1959), La teoría de los grupos , Macmillan, MR 0103215
- Hall, Philip (1934), "Una contribución a la teoría de grupos de orden de potencias primarias", Proceedings of the London Mathematical Society , 36 : 29–95, doi : 10.1112 / plms / s2-36.1.29
- Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 90–93, ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703 , OCLC 527050