En las matemáticas , o más específicamente la teoría de grupos , la omega y Agemo subgrupos describen la denominada "estructura de poder" de un finito p -Grupo . Fueron introducidos en ( Hall 1933 ) donde se utilizaron para describir una clase de grupos p finitos cuya estructura era suficientemente similar a la de los grupos p abelianos finitos , los llamados grupos p regulares . La relación entre el poder y la estructura del conmutador forma un tema central en el estudio moderno de los p -grupos, como se ejemplifica en el trabajo sobre uniformidadpoderosos grupos p .
La palabra "agemo" es simplemente "omega" deletreada al revés, y el subgrupo agemo se denota con un omega al revés.
Definición
Los subgrupos omega son la serie de subgrupos de un grupo p finito, G , indexado por los números naturales:
Los subgrupos agemo son la serie de subgrupos:
Cuando i = 1 y p es impar, normalmente se omite i de la definición. Cuando p es par, una i omitida puede significar i = 1 o i = 2 dependiendo de la convención local. En este artículo, usamos la convención de que una i omitida siempre indica i = 1.
Ejemplos de
El grupo diedro de orden 8 , G , satisface: ℧ ( G ) = Z ( G ) = [ G , G ] = Φ ( G ) = Soc ( G ) es el único subgrupo normal de orden 2, típicamente realizado como el subgrupo que contiene la identidad y una rotación de 180 °. Sin embargo, Ω ( G ) = G es el grupo completo, ya que G se genera por reflexiones. Esto muestra que Ω ( G ) no necesita ser el conjunto de elementos de orden p .
El grupo de cuaterniones de orden 8 , H , satisface Ω ( H ) = ℧ ( H ) = Z ( H ) = [ H , H ] = Φ ( H ) = Soc ( H ) es el único subgrupo de orden 2, normalmente realizado como el subgrupo que contiene solo 1 y -1.
El Sylow p -subgroup , P , del grupo simétrico en p 2 puntos es el producto guirnalda de dos grupos cíclicos de orden primo. Cuando p = 2, esto es sólo el grupo diédrico de orden 8. demasiado satisface Ω ( P ) = P . Nuevamente ℧ ( P ) = Z ( P ) = Soc ( P ) es cíclico de orden p , pero [ P , P ] = Φ ( G ) es abeliano elemental de orden p p −1 .
El producto semidirecto de un grupo cíclico de orden 4 que actúa de forma no trivial sobre un grupo cíclico de orden 4,
tiene ℧ ( K ) abeliano elemental de orden 4, pero el conjunto de cuadrados es simplemente {1, aa , bb }. Aquí el elemento aabb de ℧ ( K ) no es un cuadrado, lo que muestra que ℧ no es simplemente el conjunto de cuadrados.
Propiedades
En esta sección, sea G un grupo p finito de orden | G | = p n y exponente exp ( G ) = p k tienen varias propiedades útiles.
- Propiedades generales
- Tanto Ω i ( G ) como ℧ i ( G ) son subgrupos característicos de G para todos los números naturales, i .
- Los subgrupos omega y agemo forman dos series normales :
- G = ℧ 0 ( G ) ≥ ℧ 1 ( G ) ≥ ℧ 2 ( G ) ≥ ... ≥ ℧ k −2 ( G ) ≥ ℧ k −1 ( G )> ℧ k ( G ) = 1
- G = Ω k ( G ) ≥ Ω k −1 ( G ) ≥ Ω k −2 ( G ) ≥ ... ≥ Ω 2 ( G ) ≥ Ω 1 ( G )> Ω 0 ( G ) = 1
- y las series están vagamente entrelazadas: Para todo i entre 1 y k :
- ℧ yo ( G ) ≤ Ω k - yo ( G ), pero
- ℧ i −1 ( G ) no está contenido en Ω k - i ( G ).
- Comportamiento en cocientes y subgrupos
Si H ≤ G es un subgrupo de G y N ⊲ G es un subgrupo normal de G , entonces:
- ℧ yo ( H ) ≤ H ∩ ℧ yo ( G )
- Ω yo ( H ) = H ∩ Ω yo ( G )
- ℧ yo ( N ) ⊲ G
- Ω yo ( N ) ⊲ G
- ℧ yo ( G / N ) = ℧ yo ( G ) N / N
- Ω i ( G / N ) ≥ Ω i ( G ) N / N
- Relación con otros subgrupos importantes
- Soc ( G ) = Ω (Z ( G )), el subgrupo formado por elementos centrales de orden p es el zócalo , Soc ( G ), de G
- Φ ( G ) = ℧ ( G ) [ G , G ], el subgrupo generado por todos p ésimo poderes y conmutadores es el subgrupo Frattini , Φ ( G ), de G .
- Relaciones en clases especiales de grupos.
- En un grupo p abeliano , o más generalmente en un grupo p regular :
Aplicaciones
La primera aplicación de los subgrupos omega y agemo fue extraer la analogía de los grupos p regulares con los grupos p abelianos en ( Hall 1933 ).
Los grupos en los que Ω ( G ) ≤ Z ( G ) fueron estudiados por John G. Thompson y han visto varias aplicaciones más recientes.
La noción dual, los grupos con [ G , G ] ≤ ℧ ( G ) se denominan grupos p poderosos y fueron introducidos por Avinoam Mann . Estos grupos fueron fundamentales para la prueba de las conjeturas de colases, que introdujeron una forma importante de comprender la estructura y clasificación de los p -grupos finitos .
Referencias
- Dixon, JD; du Sautoy, MPF ; Mann, A .; Segal, D. (1991), grupos analíticos pro-p , Cambridge University Press , ISBN 0-521-39580-1, MR 1152800
- Hall, Philip (1933), "Una contribución a la teoría de grupos de orden de potencias primarias", Proceedings of the London Mathematical Society , 36 : 29–95, doi : 10.1112 / plms / s2-36.1.29
- Leedham-Green, CR ; McKay, Susan (2002), The structure of groups of prime power order , London Mathematical Society Monographs. Nueva serie, 27 , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853548-5, Señor 1918951
- McKay, Susan (2000), grupos p finitos , Queen Mary Maths Notes, 18 , Universidad de Londres, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994