pseudocomplemento

En matemáticas , particularmente en la teoría del orden , un pseudocomplemento es una generalización de la noción de complemento . En una red L con elemento inferior 0, se dice que un elemento x ∈ L tiene un pseudocomplemento si existe un elemento mayor x * ∈ L , disjunto de x , con la propiedad de que x ∧ x * = 0. Más formalmente, x * = máx{ y ∈ L | x ∧ y= 0}. La propia red L se llama red pseudocomplementada si todos los elementos de L son pseudocomplementados. Todo retículo pseudocomplementado está necesariamente acotado , es decir, también tiene un 1. Dado que el pseudocomplemento es único por definición (si existe), una red pseudocomplementada se puede dotar de una operación unaria * mapear cada elemento a su pseudocomplemento; esta estructura a veces se denomina p -álgebra . [1] [2] Sin embargo, este último término puede tener otros significados en otras áreas de las matemáticas.

En un p -álgebra L , para todo [1] [2]

El conjunto S ( L ) ≝ { x ** | x ∈ L } se llama el esqueleto de L . S ( L ) es un ∧- subsemiretículo de L y junto con x ∪ y = ( x ∨ y )** = ( x * ∧ y *)* forma un álgebra booleana (el complemento en este álgebra es *). [1] [2] En general, S ( L ) no es una subred del _ [2] En un p -álgebra distributiva , S ( L ) es el conjunto de elementos complementados de L . [1]

Todo elemento x con la propiedad x * = 0 (o de manera equivalente, x ** = 1) se llama denso . Todo elemento de la forma x ∨ x * es denso. D ( L ), el conjunto de todos los elementos densos en L es un filtro de L . [1] [2] Un p -álgebra distributiva es booleana si y sólo si D ( L ) = {1}. [1]

Un pseudocomplemento relativo de a con respecto a b es un elemento maximal c tal que a ∧ c ≤ b . Esta operación binaria se denota a → b . Un retículo con el pseudocomplemento para cada dos elementos se denomina retículo implicativo o retículo brouweriano . En general, una red implicativa puede no tener un elemento mínimo. Si existe tal elemento mínimo, entonces cada pseudocomplemento a * podría definirse usando un pseudocomplemento relativo como a → 0. [4]