En matemáticas , una semiretícula de unión (o semiretícula superior ) es un conjunto parcialmente ordenado que tiene una unión (un límite superior mínimo ) para cualquier subconjunto finito no vacío . Dualmente , un encuentro-semiretículo (o semiretículo inferior ) es un conjunto parcialmente ordenado que tiene un encuentro (o límite inferior mayor ) para cualquier subconjunto finito no vacío. Cada semirretículo de unión es un semirretículo de encuentro en el orden inverso y viceversa.
Las semiretículas también se pueden definir algebraicamente : unir y encontrar son operaciones binarias asociativas , conmutativas e idempotentes , y cualquier operación de este tipo induce un orden parcial (y el respectivo orden inverso) tal que el resultado de la operación para dos elementos cualquiera es el límite superior mínimo (o mayor límite inferior) de los elementos con respecto a este orden parcial.
Un retículo es un conjunto parcialmente ordenado que es a la vez un semirretículo de reunión y unión con respecto al mismo orden parcial. Algebraicamente, una red es un conjunto con dos operaciones binarias idempotentes asociativas y conmutativas unidas por leyes de absorción correspondientes .
Reemplazar el "límite inferior más grande" por el " límite superior mínimo " da como resultado el concepto dual de un semirretículo de unión . El límite superior mínimo de { x , y } se llama la unión de x e y , denotada x ∨ y . Conocer y unirse son operaciones binarias en S . Un simple argumento de inducción muestra que la existencia de todos los posibles suprema (ínfima) por pares, según la definición, implica la existencia de toda suprema (ínfima) finita no vacía.
Una unión-semiretícula está acotada si tiene un elemento mínimo , la unión del conjunto vacío. Dualmente , un encuentro-semiretículo está acotado si tiene un elemento mayor , el encuentro del conjunto vacío.
Se pueden suponer otras propiedades; consulte el artículo sobre la completitud en la teoría del orden para obtener más información sobre este tema. Ese artículo también analiza cómo podemos reformular la definición anterior en términos de la existencia de conexiones de Galois adecuadas entre posets relacionadas, un enfoque de especial interés para las investigaciones teóricas de categorías del concepto.