Teoría de la representación de grupos finitos

La teoría de la representación de grupos es una parte de las matemáticas que examina cómo actúan los grupos sobre estructuras dadas.

Aquí la atención se centra en particular en las operaciones de grupos en espacios vectoriales . No obstante, también se consideran grupos que actúan sobre otros grupos o sobre conjuntos . Para obtener más detalles, consulte la sección sobre representaciones de permutación .

Con la excepción de unas pocas excepciones marcadas, en este artículo solo se considerarán grupos finitos. También nos limitaremos a espacios vectoriales sobre campos de característica cero. Debido a que la teoría de campos algebraicamente cerrados de característica cero es completa, una teoría válida para un campo algebraicamente cerrado especial de característica cero también es válida para cualquier otro campo algebraicamente cerrado de característica cero. Así, sin pérdida de generalidad, podemos estudiar espacios vectoriales sobre ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} .}$

La teoría de la representación se utiliza en muchas partes de las matemáticas, así como en la química y la física cuánticas. Entre otras cosas, se usa en álgebra para examinar la estructura de los grupos. También hay aplicaciones en análisis armónico y teoría de números . Por ejemplo, la teoría de la representación se utiliza en el enfoque moderno para obtener nuevos resultados sobre las formas automórficas.

Sean un espacio vectorial y un grupo finito. Una representación lineal de es un homomorfismo de grupo Aquí hay una notación para un grupo lineal general y para un grupo de automorfismo . Esto significa que una representación lineal es un mapa que satisface para todos El espacio vectorial se llama espacio de representación de A menudo, el término representación de también se usa para el espacio de representación ${\ estilo de visualización V}$ ${\ estilo de visualización K}$ ${\ estilo de visualización G}$ ${\ estilo de visualización G}$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)={\text{Aut}}(V).$ ${\text{GL}}(V)$ ${\text{Auto}}(V)$ ${\displaystyle\rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\ estilo de visualización \ rho (st) = \ rho (s) \ rho (t)}$ ${\ estilo de visualización s, t \ en G.}$ ${\ estilo de visualización V}$ ${\ estilo de visualización G.}$ ${\ estilo de visualización G}$ ${\ estilo de visualización V.}$

La representación de un grupo en un módulo en lugar de un espacio vectorial también se denomina representación lineal.