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Para conocer el proceso de determinación de la estructura de una pieza musical, consulte Armonía .
Para una cobertura más amplia de este tema, consulte Armónica (matemáticas) .

El análisis armónico es una rama de las matemáticas que se ocupa de la representación de funciones o señales como la superposición de ondas básicas , y el estudio y generalización de las nociones de series de Fourier y transformadas de Fourier (es decir, una forma ampliada de análisis de Fourier ). En los últimos dos siglos, se ha convertido en un tema vasto con aplicaciones en áreas tan diversas como la teoría de números , la teoría de la representación , el procesamiento de señales , la mecánica cuántica , el análisis de mareas y la neurociencia .

El término " armónicos " se originó como la palabra griega antigua harmonikos , que significa "hábil en la música". [1] En problemas de valores propios físicos , comenzó a significar ondas cuyas frecuencias son múltiplos enteros entre sí, al igual que las frecuencias de los armónicos de las notas musicales , pero el término se ha generalizado más allá de su significado original.

La transformada de Fourier clásica en R n sigue siendo un área de investigación en curso, particularmente en lo que respecta a la transformación de Fourier en objetos más generales, como las distribuciones templadas . Por ejemplo, si imponemos algunos requisitos a una distribución f , podemos intentar traducir estos requisitos en términos de la transformada de Fourier de f . El teorema de Paley-Wiener es un ejemplo de esto. El teorema de Paley-Wiener implica inmediatamente que si f es una distribución de soporte compacto distinta de cero (estas incluyen funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier nunca es compatible de manera compacta. Esta es una forma muy elemental deprincipio de incertidumbre en un entorno de análisis armónico.

Las series de Fourier se pueden estudiar convenientemente en el contexto de los espacios de Hilbert , lo que proporciona una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional .

Los armónicos del color. El gráfico de análisis armónico muestra cómo interactúan las diferentes longitudes de onda con la luz roja. Con una diferencia de λ / 2 (media longitud de onda), el rojo está perfectamente sincronizado con su segundo armónico en el ultravioleta. Todas las demás longitudes de onda en el espectro visual tienen menos de una diferencia λ / 2 entre ellas, formando oscilaciones armónicas en las ondas combinadas. En λ / 14, las oscilaciones tienen un ciclo cada 14ª onda, mientras que en λ / 8 lo hacen cada 8ª. La sección inferior muestra cómo el armónico λ / 4 interactúa en la luz visible (verde y roja), fotografiado en un plano óptico .

Análisis armónico abstracto [ editar ]

Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis de grupos topológicos . Las ideas motivadoras centrales son las diversas transformadas de Fourier , que pueden generalizarse a una transformada de funciones definidas en grupos topológicos localmente compactos de Hausdorff .

La teoría de los grupos localmente compactos abelianos se llama dualidad de Pontryagin .

El análisis armónico estudia las propiedades de esa dualidad y la transformada de Fourier e intenta extender esas características a diferentes entornos, por ejemplo, en el caso de grupos de Lie no abelianos .

Para los grupos compactos localmente no abelianos generales, el análisis armónico está estrechamente relacionado con la teoría de las representaciones de grupos unitarios. Para grupos compactos, el teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden obtener armónicos eligiendo una representación irreducible de cada clase de equivalencia de representaciones. Esta elección de armónicos disfruta de algunas de las propiedades útiles de la transformada de Fourier clásica en términos de llevar convoluciones a productos puntiagudos, o mostrar una cierta comprensión de la estructura de grupo subyacente . Ver también: Análisis armónico no conmutativo .

Si el grupo no es abeliano ni compacto, actualmente no se conoce ninguna teoría general satisfactoria ("satisfactorio" significa al menos tan fuerte como el teorema de Plancherel ). Sin embargo, se han analizado muchos casos específicos, por ejemplo SL n . En este caso, las representaciones en infinitas dimensiones juegan un papel crucial.

Otras ramas [ editar ]

  • El estudio de los valores propios y los vectores propios del Laplaciano en dominios , variedades y (en menor medida) gráficos también se considera una rama del análisis armónico. Véase, por ejemplo, escuchar la forma de un tambor . [2]
  • El análisis armónico en espacios euclidianos se ocupa de las propiedades de la transformada de Fourier en R n que no tienen análogo en los grupos generales. Por ejemplo, el hecho de que la transformada de Fourier sea invariante en rotación. La descomposición de la transformada de Fourier en sus componentes radiales y esféricos conduce a temas como las funciones de Bessel y los armónicos esféricos .
  • El análisis de armónicos en dominios de tubos se ocupa de generalizar las propiedades de los espacios Hardy a dimensiones más altas.

Análisis armónico aplicado [ editar ]

Señal de tiempo de bajo de una nota A de cuerda abierta (55 Hz)
Transformada de Fourier de la señal de tiempo del bajo de la nota A de cuerda abierta (55 Hz) [3]

Muchas aplicaciones del análisis armónico en ciencia e ingeniería comienzan con la idea o hipótesis de que un fenómeno o señal se compone de una suma de componentes oscilatorios individuales. Las mareas oceánicas y las cuerdas vibrantes son ejemplos comunes y simples. El enfoque teórico consiste a menudo en tratar de describir el sistema mediante una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones para predecir las características esenciales, incluidas la amplitud, la frecuencia y las fases de los componentes oscilatorios. Las ecuaciones específicas dependen del campo, pero las teorías generalmente intentan seleccionar ecuaciones que representen principios fundamentales que sean aplicables.

El enfoque experimental suele consistir en adquirir datos que cuantifiquen con precisión el fenómeno. Por ejemplo, en un estudio de las mareas, el experimentador adquiriría muestras de la profundidad del agua en función del tiempo a intervalos lo suficientemente cerca como para ver cada oscilación y durante una duración lo suficientemente larga como para que probablemente se incluyan múltiples períodos oscilatorios. En un estudio sobre cuerdas vibratorias, es común que el experimentador adquiera una forma de onda de sonido muestreada a una velocidad al menos dos veces mayor que la de la frecuencia más alta esperada y durante una duración muchas veces mayor que el período de la frecuencia más baja esperada.

Por ejemplo, la señal superior a la derecha es una forma de onda de sonido de un bajo tocando una cuerda abierta correspondiente a una nota A con una frecuencia fundamental de 55 Hz. La forma de onda parece oscilatoria, pero es más compleja que una onda sinusoidal simple, lo que indica la presencia de ondas adicionales. Los diferentes componentes de onda que contribuyen al sonido se pueden revelar aplicando una técnica de análisis matemático conocida como transformada de Fourier , cuyo resultado se muestra en la figura inferior. Tenga en cuenta que hay un pico prominente a 55 Hz, pero que hay otros picos a 110 Hz, 165 Hz y en otras frecuencias correspondientes a múltiplos enteros de 55 Hz. En este caso, 55 Hz se identifica como la frecuencia fundamental de la vibración de la cuerda, y los múltiplos enteros se conocen como armónicos..

Ver también [ editar ]

  • Convergencia de la serie de Fourier
  • Armónico (matemáticas)
  • Estimación de densidad espectral
  • Tesis de Tate

Referencias [ editar ]

  1. ^ "armónico" . Diccionario de etimología en línea .
  2. ^ Terras, Audrey (2013). Análisis armónico sobre espacios simétricos: espacio euclidiano, la esfera y el semiplano superior de Poincaré (2ª ed.). Nueva York, NY: Springer. pag. 37. ISBN 978-1461479710. Consultado el 12 de diciembre de 2017 .
  3. ^ Calculado con https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/ .

Bibliografía [ editar ]

  • Elias Stein y Guido Weiss , Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton University Press , 1971. ISBN 0-691-08078-X 
  • Elias Stein con Timothy S. Murphy, Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias , Princeton University Press, 1993.
  • Elias Stein , Temas de análisis armónico relacionados con la teoría de Littlewood-Paley , Princeton University Press, 1970.
  • Yitzhak Katznelson , Introducción al análisis armónico , tercera edición. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0 ; 0-521-54359-2 
  • Terence Tao , Transformada de Fourier . (Introduce la descomposición de funciones en partes pares + impares como una descomposición armónica sobre ℤ₂).
  • Yurii I. Lyubich. Introducción a la teoría de las representaciones de grupos de Banach . Traducido de la edición en ruso de 1985 (Jarkov, Ucrania). Birkhäuser Verlag. 1988.
  • George W. Mackey , Análisis armónico como explotación de la simetría: un estudio histórico , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 3 (1980), 543–698.

Enlaces externos [ editar ]