En álgebra abstracta , una red residual es una estructura algebraica que es simultáneamente una red x ≤ y y un monoide x • y que admite operaciones x \ z y z / y , vagamente análogas a la división o implicación, cuando x • y se ve como multiplicación o conjunción, respectivamente. Llamadas respectivamente residuos derecho e izquierdo, estas operaciones coinciden cuando el monoide es conmutativo. El concepto general fue introducido por Morgan Ward yRobert P. Dilworth en 1939. Los ejemplos, algunos de los cuales existían antes del concepto general, incluyen álgebras booleanas, álgebras de Heyting , álgebras booleanas residuales, álgebras de relación y MV-álgebras . Las semiredes residuales omiten la operación de reunión ∧, por ejemplo, álgebras de Kleene y álgebras de acción .
En (iii), el "mayor y ", siendo una función de z y x , se denota x \ z y se llama el residuo derecho de z por x . Piense en ello como lo que queda de z a la derecha después de "dividir" z a la izquierda por x . Dualmente, el "mayor x " se denota z / y y se llama el residuo izquierdo de z por y . Una declaración equivalente y más formal de (iii) que usa estas operaciones para nombrar estos valores más grandes es
Como sugiere la notación, los residuos son una forma de cociente. Más precisamente, para una x dada en L , las operaciones unarias x • y x \ son respectivamente los adjuntos inferior y superior de una conexión de Galois en L , y dualmente para las dos funciones • y y / y . Por el mismo razonamiento que se aplica a cualquier conexión de Galois, tenemos otra definición de los residuos, a saber,
junto con el requisito de que x • y sea monótono en x e y . (Cuando se axiomatiza usando (iii) o (iii)', la monotonicidad se convierte en un teorema y, por lo tanto, no se requiere en la axiomatización.) Esto da un sentido en el que las funciones x • yx \ son pseudoinversos o adjuntos entre sí, y lo mismo para • x y / x .
Esta última definición es puramente en términos de desigualdades, observando que la monotonicidad se puede axiomatizar como x • y ≤ ( x ∨ z )• y y de manera similar para las otras operaciones y sus argumentos. Además, cualquier desigualdad x ≤ y se puede expresar de manera equivalente como una ecuación, ya sea x ∧ y = x o x ∨ y = y . Esto, junto con las ecuaciones que axiomatizan redes y monoides, produce una definición puramente ecuacional de redes residuales, siempre que las operaciones requeridas se agreguen a la firma ( L, ≤, •, I ) expandiéndolo así a ( L , ∧, ∨, •, I , /, \). Cuando se organizan así, los retículos residuales forman una clase o variedad ecuacional , cuyos homomorfismos respetan tanto los residuos como las operaciones de retículo y monoide. Note que la distributividad x •( y ∨ z ) = ( x • y ) ∨ ( x • z ) y x•0 = 0 son consecuencias de estos axiomas, por lo que no es necesario que formen parte de la definición. Esta distributividad necesaria de • sobre ∨ no implica en general distributividad de ∧ sobre ∨, es decir, una red residual no necesita ser una red distributiva. Sin embargo, existe distributividad de ∧ sobre ∨ cuando • y ∧ son la misma operación, un caso especial de retículos residuales llamado álgebra de Heyting .
Las notaciones alternativas para x • y incluyen x ◦ y , x ; y ( álgebra de relaciones ), y x ⊗ y ( lógica lineal ). Alternativas para incluyo e y 1'. Las notaciones alternativas para los residuos son x → y para x \ y y y ← x para y / x, sugerido por la similitud entre residuación e implicación en lógica, con la multiplicación del monoide entendida como una forma de conjunción que no necesita ser conmutativa. Cuando el monoide es conmutativo, los dos residuos coinciden. Cuando no es conmutativo, el significado intuitivo del monoide como conjunción y los residuos como implicaciones pueden entenderse como si tuvieran una cualidad temporal: x • y significa x y luego y , x → y significa tenía x (en el pasado) luego y (ahora ), y y ← x significa si alguna vez x (en el futuro)luego y (en ese momento), como se ilustra en el ejemplo de lenguaje natural al final de los ejemplos.