MV-álgebra

En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas puras , un MV-álgebra es una estructura algebraica con una operación binaria. ${\displaystyle \oplus }$, una operación unaria ${\displaystyle \neg }$, y la constante ${\displaystyle 0}$, satisfaciendo ciertos axiomas. MV-álgebras son la semántica algebraica de la lógica de Łukasiewicz ; las letras MV se refieren a la lógica de muchos valores de Łukasiewicz . MV-álgebras coinciden con la clase de álgebras BCK conmutativas acotadas .

Definiciones

Un MV-álgebra es una estructura algebraica ${\displaystyle \langle A,\oplus ,\lnot ,0\rangle ,}$ que consiste en

• un no vacío conjunto ${\displaystyle A,}$
• una operación binaria ${\displaystyle \oplus }$ en ${\displaystyle A,}$
• una operación unaria ${\displaystyle \lnot }$ en ${\displaystyle A,}$ y
• una constante ${\displaystyle 0}$que denota un elemento fijo de${\displaystyle A,}$

que satisface las siguientes identidades :

• ${\displaystyle (x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z),}$
• ${\displaystyle x\oplus 0=x,}$
• ${\displaystyle x\oplus y=y\oplus x,}$
• ${\displaystyle \lnot \lnot x=x,}$
• ${\displaystyle x\oplus \lnot 0=\lnot 0,}$ y
• ${\displaystyle \lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x.}$

En virtud de los tres primeros axiomas, ${\displaystyle \langle A,\oplus ,0\rangle }$es un monoide conmutativo . Al estar definidas por identidades, las MV-álgebras forman una variedad de álgebras. La variedad de álgebras MV es una subvariedad de la variedad de álgebras BL y contiene todas las álgebras booleanas .

Un MV-álgebra se puede definir de manera equivalente ( Hájek 1998) como un retículo residuo integral acotado conmutativo prelineal ${\displaystyle \langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\rangle }$ satisfaciendo la identidad adicional ${\displaystyle x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y.}$

Ejemplos de MV-álgebras

Un ejemplo numérico simple es ${\displaystyle A=[0,1],}$ con operaciones ${\displaystyle x\oplus y=\min(x+y,1)}$ y ${\displaystyle \lnot x=1-x.}$En lógica matemática difusa , esta MV-álgebra se llama MV-álgebra estándar , ya que forma la semántica estándar de valores reales de la lógica de Łukasiewicz .

El trivial MV-álgebra tiene el único elemento 0 y las operaciones definidas de la única manera posible,${\displaystyle 0\oplus 0=0}$ y ${\displaystyle \lnot 0=0.}$

El álgebra MV de dos elementos es en realidad el álgebra booleana de dos elementos ${\displaystyle \{0,1\},}$ con ${\displaystyle \oplus }$ coincidiendo con la disyunción booleana y ${\displaystyle \lnot }$con negación booleana. De hecho, agregando el axioma${\displaystyle x\oplus x=x}$ a los axiomas que definen un álgebra MV da como resultado una axiomatización de álgebras booleanas.

Si en cambio el axioma agregado es ${\displaystyle x\oplus x\oplus x=x\oplus x}$, entonces los axiomas definen el álgebra MV ₃ correspondiente a la lógica Łukasiewicz de tres valores Ł ₃ ^{[ cita requerida ]} . Otras álgebras MV finitas ordenadas linealmente se obtienen restringiendo el universo y las operaciones del álgebra MV estándar al conjunto de${\displaystyle n}$ números reales equidistantes entre 0 y 1 (ambos incluidos), es decir, el conjunto ${\displaystyle \{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\},}$ que está cerrado bajo las operaciones ${\displaystyle \oplus }$ y ${\displaystyle \lnot }$del MV-álgebra estándar; estas álgebras generalmente se denotan MV _n .

Otro ejemplo importante es el MV-álgebra de Chang , que consta solo de infinitesimales (con el tipo de orden ω) y sus co-infinitesimales.

Chang también construyó un MV-álgebra a partir de un grupo abeliano G arbitrario totalmente ordenado fijando un elemento positivo u y definiendo el segmento [0, u ] como { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u }, que se convierte en un MV-álgebra con x ⊕ y = min ( u , x + y ) y ¬ x = u - x . Además, Chang demostró que cada álgebra MV ordenada linealmente es isomórfica a una álgebra MV construida a partir de un grupo de esta manera.

D. Mundici extendió la construcción anterior a grupos abelianos ordenados en celosía . Si G es un grupo de este tipo con una unidad u fuerte (de orden) , entonces el "intervalo unitario" { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } se puede equipar con ¬ x = u - x , x ⊕ y = u ∧ _G (x + y), y x ⊗ y = 0 ∨ _G ( x + y - u ). Esta construcción establece una equivalencia categórica entre grupos abelianos ordenados en celosía con unidad fuerte y álgebras MV.

Un álgebra de efectos que está ordenada en celosía y tiene la propiedad de descomposición de Riesz es un álgebra MV. Por el contrario, cualquier álgebra MV es un álgebra de efecto reticulado ordenado con la propiedad de descomposición de Riesz. ^[1]

Relación con la lógica Łukasiewicz

CC Chang ideó MV-álgebras para estudiar lógicas de muchos valores , introducido por Jan Łukasiewicz en 1920. En particular, MV-álgebras forman la semántica algebraica de la lógica de Łukasiewicz , como se describe a continuación.

Dado un MV-álgebra A , una A - valoración es un homomorfismo de la álgebra de fórmulas proposicionales (en el lenguaje que consiste en${\displaystyle \oplus ,\lnot ,}$y 0) en A . Fórmulas asignadas a 1 (es decir, a${\displaystyle \lnot }$0) para todos A -valuations se llaman A - tautologías . Si se emplea el álgebra MV estándar sobre [0,1], el conjunto de todas las [0,1] -tautologías determina la llamada lógica Łukasiewicz de valor infinito .

El teorema de completitud de Chang (1958, 1959) establece que cualquier ecuación de MV-álgebra que se mantenga en el MV-álgebra estándar durante el intervalo [0,1] se mantendrá en cada MV-álgebra. Algebraicamente, esto significa que el álgebra MV estándar genera la variedad de todas las álgebras MV. De manera equivalente, el teorema de completitud de Chang dice que las MV-álgebras caracterizan la lógica de Łukasiewicz con valores infinitos , definida como el conjunto de [0,1] -tautologías.

La forma en que el álgebra [0,1] MV caracteriza todas las álgebras MV posibles es paralela al hecho bien conocido de que las identidades que se mantienen en el álgebra booleana de dos elementos se mantienen en todas las álgebras booleanas posibles. Además, las MV-álgebras caracterizan la lógica de Łukasiewicz de valor infinito de una manera análoga a la forma en que las álgebras de Boole caracterizan la lógica bivalente clásica (ver álgebra de Lindenbaum-Tarski ).

En 1984, Font, Rodríguez y Torrens introdujeron el álgebra de Wajsberg como modelo alternativo para la lógica Łukasiewicz de valores infinitos. Las álgebras de Wajsberg y las álgebras de MV son términos equivalentes. ^[2]

MV _n -álgebras

En la década de 1940, Grigore Moisil introdujo sus álgebras de Łukasiewicz-Moisil (LM _n -algebras) con la esperanza de dar una semántica algebraica para la lógica de Łukasiewicz (finitamente) valorada en n . Sin embargo, en 1956 Alan Rose descubrió que para n ≥ 5, el álgebra de Łukasiewicz-Moisil no modela la lógica de Łukasiewicz con valor n . Aunque CC Chang publicó su MV-álgebra en 1958, es un modelo fiel sólo para la lógica Łukasiewicz-Tarski con valor ℵ ₀ (infinitamente muchos valores) . Para los axiomáticamente más complicados (finitamente) n-valuadas lógicas de Łukasiewicz, las álgebras adecuadas fueron publicadas en 1977 por Revaz Grigolia y llamadas MV _n -algebras. ^{[3] Las} _n- álgebras MV son una subclase de las _n- álgebras LM ; la inclusión es estricta para n ≥ 5. ^[4]

Las _n -álgebras MV son MV-álgebras que satisfacen algunos axiomas adicionales, al igual que las lógicas de Łukasiewicz con valor n tienen axiomas adicionales agregados a la lógica con valor ℵ ₀ .

En 1982, Roberto Cignoli publicó algunas restricciones adicionales que añadidas a LM _n -algebras producen modelos adecuados para la lógica de Łukasiewicz valorada en n ; Cignoli llamó a su descubrimiento álgebras de Łukasiewicz apropiadas con valores n . ^[5] Las _n- álgebras LM que también son MV _n- álgebras son precisamente las propias álgebras de Łukasiewicz con valor n de Cignoli . ^[6]

Relación con el análisis funcional

Las álgebras MV fueron relacionadas por Daniele Mundici con álgebras C * de dimensiones aproximadamente finitas estableciendo una correspondencia biyectiva entre todas las clases de isomorfismos de álgebras C * aproximadamente de dimensión finita con grupos de dimensiones ordenados en celosía y todas las clases de isomorfismos de álgebras MV contables. Algunas instancias de esta correspondencia incluyen:

Álgebra MV contable	aproximadamente C * -álgebra de dimensión finita
{0, 1}	ℂ
{0, 1 / n , ..., 1}	M n (ℂ), es decir, n × n matrices complejas
finito	de dimensión finita
booleano	conmutativo

En software

Existen múltiples marcos que implementan lógica difusa (tipo II), y la mayoría de ellos implementan lo que se ha llamado lógica multi-adjunta . Esto no es más que la implementación de un álgebra MV.

Referencias

1. Foulis, DJ (1 de octubre de 2000). "MV y álgebras de efecto Heyting". Fundamentos de la Física . 30 (10): 1687-1706. doi : 10.1023 / A: 1026454318245 . ISSN  1572-9516 . S2CID  116763476 .
2. "citando a JM Font, AJ Rodríguez, A. Torrens," Wajsberg Algebras ", Stochastica , VIII, 1, 5-31, 1984" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 10 de agosto de 2014 . Consultado el 21 de agosto de 2014 .
3. Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas de valores múltiples no conmutativas . Saltador. págs. vii-viii. ISBN 978-3-319-01589-7.
4. Iorgulescu, A .: Conexiones entre MV _n- álgebras y n -álgebras de Łukasiewicz-Moisil valoradas en n -I. Matemáticas discretas. 181, 155-177 (1998) doi : 10.1016 / S0012-365X (97) 00052-6
5. R. Cignoli, Álgebras de Łukasiewicz con valor n adecuadocomo S-Álgebras de Łukasiewicz n- Cálculos proposicionales valiosos, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, doi : 10.1007 / BF00373490
6. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 10 de agosto de 2014 . Consultado el 21 de agosto de 2014 .

• Chang, CC (1958) "Análisis algebraico de lógicas de muchos valores", Transactions of the American Mathematical Society 88 : 476–490.
• ------ (1959) "Una nueva prueba de la integridad de los axiomas de Lukasiewicz", Transactions of the American Mathematical Society 88 : 74–80.
• Cignoli, RLO, D'Ottaviano, IML , Mundici, D. (2000) Fundamentos algebraicos del razonamiento multivaluado . Kluwer.
• Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Caracterización ecológica de todas las variedades de MV-álgebras", Journal of Algebra 221 : 463–474 doi : 10.1006 / jabr.1999.7900 .
• Hájek, Petr (1998) Metamatemáticas de la lógica difusa . Kluwer.
• Mundici, D .: Interpretación de AF C * -álgebras en el cálculo de sentencias de Łukasiewicz. J. Funct. Anal. 65, 15–63 (1986) doi : 10.1016 / 0022-1236 (86) 90015-7

Lectura adicional

• Daniele Mundici, MV-ALGEBRAS. Un breve tutorial
• D. Mundici (2011). Cálculo avanzado de Łukasiewicz y MV-álgebras . Saltador. ISBN 978-94-007-0839-6.
• Mundici, D. Las C * -Álgebras de la lógica de tres valores. Coloquio de lógica '88, Actas del coloquio celebrado en Padua 61–77 (1989). doi : 10.1016 / s0049-237x (08) 70262-3
• Cabrer, LM & Mundici, D. Un teorema de Stone-Weierstrass para MV-álgebras y grupos ℓ unitales. Revista de lógica y computación (2014). doi : 10.1093 / logcom / exu023
• Olivia Caramello , Anna Carla Russo (2014) La equivalencia de Morita entre MV-álgebras y grupos ℓ abelianos con unidad fuerte

Enlaces externos

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : " Lógica de muchos valores ", por Siegfried Gottwald .