Teorema de la inversión de Lagrange
En análisis matemático , el teorema de inversión de Lagrange , también conocido como fórmula de Lagrange-Bürmann , da la expansión en serie de Taylor de la función inversa de una función analítica .
donde f es analítica en un punto ay Entonces es posible invertir o resolver la ecuación para w , expresándola en la forma dada por una serie de potencias [1]
El teorema establece además que esta serie tiene un radio de convergencia distinto de cero, es decir, representa una función analítica de z en una vecindad de. Esto también se llama reversión de serie .
Si se omiten las afirmaciones sobre analiticidad, la fórmula también es válida para series de potencias formales y se puede generalizar de varias formas: se puede formular para funciones de varias variables; se puede ampliar para proporcionar una fórmula lista para F ( g ( z )) para cualquier función analítica F ; y se puede generalizar al caso donde la inversa g es una función multivalor.
El teorema fue probado por Lagrange [2] y generalizado por Hans Heinrich Bürmann , [3] [4] [5] ambos a finales del siglo XVIII. Existe una derivación sencilla utilizando análisis complejos e integración de contornos ; [6] La versión de series de potencias formales complejas es una consecuencia de conocer la fórmula de los polinomios , por lo que se puede aplicar la teoría de funciones analíticas . En realidad, la maquinaria de la teoría de la función analítica entra solo de manera formal en esta prueba, en el sentido de que lo que realmente se necesita es alguna propiedad del residuo formal y una prueba formal más directa. está disponible.
Si f es una serie de potencias formales, entonces la fórmula anterior no da los coeficientes de la serie inversa composicional g directamente en términos de los coeficientes de la serie f . Si se pueden expresar las funciones f y g en series formales de potencias como