Ecuación de Reynolds

La ecuación de Reynolds es una ecuación diferencial parcial que gobierna la distribución de presión de películas delgadas de fluidos viscosos en la teoría de la lubricación . No se debe confundir con Osborne Reynolds otros mismo nombre ', número de Reynolds y promediadas de Reynolds-ecuaciones de Navier-Stokes . Fue derivada por primera vez por Osborne Reynolds en 1886. ^[1] La ecuación de Reynolds clásica puede usarse para describir la distribución de presión en casi cualquier tipo de rodamiento de película de fluido ; un tipo de rodamiento en el que los cuerpos delimitadores están completamente separados por una fina capa de líquido o gas.

Uso general

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La ecuación de Reynolds general es:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(u_{a}+u_{b}\right)}{2}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h\left(v_{a}+v_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho u_{a}{\frac {\partial h}{\partial x}}-\rho v_{a}{\frac {\partial h}{\partial y}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$

Dónde:

• ${\displaystyle p}$ es la presión de la película de fluido.
• ${\displaystyle x}$y son las coordenadas de ancho y largo del rodamiento.${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle z}$ es la coordenada del espesor de la película de fluido.
• ${\displaystyle h}$ es el espesor de la película fluida.
• ${\displaystyle \mu }$ es la viscosidad del fluido.
• ${\displaystyle \rho }$ es la densidad del fluido.
• ${\displaystyle u,v,w}$son las velocidades del cuerpo delimitador en respectivamente.${\displaystyle x,y,z}$
• ${\displaystyle a,b}$ son subíndices que indican los cuerpos delimitadores superior e inferior, respectivamente.

La ecuación puede usarse con unidades consistentes o no dimensionalizada .

La ecuación de Reynolds asume:

• El fluido es newtoniano .
• Las fuerzas viscosas de los fluidos dominan sobre las fuerzas de inercia del fluido. Este es el principio del número de Reynolds .
• Las fuerzas del cuerpo fluido son insignificantes.
• La variación de presión a través de la película de fluido es insignificante (es decir )${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}=0}$
• El espesor de la película de fluido es mucho menor que el ancho y la longitud y, por lo tanto, los efectos de curvatura son insignificantes. (es decir, y ).${\displaystyle h\ll l}$${\displaystyle h\ll w}$

Para algunas geometrías de cojinetes simples y condiciones de contorno, la ecuación de Reynolds se puede resolver analíticamente. Sin embargo, a menudo, la ecuación debe resolverse numéricamente. Con frecuencia, esto implica discretizar el dominio geométrico y luego aplicar una técnica finita, a menudo FDM , FVM o FEM .

Derivación de Navier-Stokes

Se puede encontrar una derivación completa de la ecuación de Reynolds a partir de la ecuación de Navier-Stokes en numerosos libros de texto sobre lubricación. ^{[2] [3]}

Solución de la ecuación de Reynolds

En general, la ecuación de Reynolds debe resolverse utilizando métodos numéricos como la diferencia finita o el elemento finito. En ciertos casos simplificados, sin embargo, se pueden obtener soluciones analíticas o aproximadas. ^[4]

Para el caso de esfera rígida en geometría plana, caso de estado estable y condición de contorno de cavitación de medio Sommerfeld, la ecuación de Reynolds 2-D se puede resolver analíticamente. Esta solución fue propuesta por un premio Nobel, Pyotr Kapitsa . La condición de límite de Half-Sommerfeld demostró ser inexacta y esta solución debe usarse con cuidado.

En el caso de la ecuación de Reynolds 1-D, se encuentran disponibles varias soluciones analíticas o semi-analíticas. En 1916, Martin obtuvo una solución de forma cerrada ^[5] para un espesor de película mínimo y presión para un cilindro rígido y geometría plana. Esta solución no es precisa para los casos en que la deformación elástica de las superficies contribuye considerablemente al espesor de la película. En 1949, Grubin obtuvo una solución aproximada ^[6] para el llamado problema de contacto de la línea de lubricación elastohidrodinámica (EHL), donde combinó tanto la deformación elástica como el flujo hidrodinámico del lubricante. En esta solución se asumió que el perfil de presión sigue la solución de Hertz. Por lo tanto, el modelo es preciso a cargas elevadas, cuando la presión hidrodinámica tiende a estar cerca de la presión de contacto de Hertz. ^[7]

Aplicaciones

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La ecuación de Reynolds se utiliza para modelar la presión en muchas aplicaciones. Por ejemplo:

• Rodamientos de bolas
• Cojinetes de aire
• Cojinetes de diario
• Amortiguadores de película comprimida en turbinas de gas de aviones
• Articulaciones de rodilla y cadera humana
• Contactos de engranajes lubricados

Adaptaciones de la ecuación de Reynolds

En 1978 Patir y Cheng introdujeron un modelo de flujo promedio ^[8] que modifica la ecuación de Reynolds para considerar los efectos de la rugosidad de la superficie en contactos parcialmente lubricados.

Referencias

1. Reynolds, O. (1886). "Sobre la teoría de la lubricación y su aplicación a los experimentos del Sr. Beauchamp Tower, incluida una determinación experimental de la viscosidad del aceite de oliva" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . Sociedad de la realeza. 177 : 157-234. doi : 10.1098 / rstl.1886.0005 . JSTOR  109480 .
2. Hamrock, Bernard J .; Schmid, Steven R .; Jacobson, Bo O. (2004). Fundamentos de la lubricación por película fluida . Taylor y Francis. ISBN 978-0-8247-5371-9.
3. Szeri, Andras Z. (2010). Lubricación de película fluida . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-89823-2.
4. "Ecuación de Reynolds: derivación y solución" . tribonet.org . 12 de noviembre de 2016 . Consultado el 10 de septiembre de 2019 .
5. Akchurin, Aydar (18 de febrero de 2016). "Solución analítica de la ecuación de Reynolds 1D" . tribonet.org . Consultado el 10 de septiembre de 2019 .
6. Akchurin, Aydar (22 de febrero de 2016). "Solución semi-analítica de la ecuación de Reynolds transitoria 1D (aproximación de Grubin)" . tribonet.org . Consultado el 10 de septiembre de 2019 .
7. Akchurin, Aydar (4 de enero de 2017). "Calculadora de contactos de Hertz" . tribonet.org . Consultado el 10 de septiembre de 2019 .
8. Patir, Nadir; Cheng, HS (1978). "Un modelo de flujo promedio para determinar los efectos de la rugosidad tridimensional en la lubricación hidrodinámica parcial". Revista de tecnología de lubricación . 100 (1): 12. doi : 10.1115 / 1.3453103 . ISSN 0022-2305 .