El método de volumen finito ( FVM ) es un método para representar y evaluar ecuaciones diferenciales parciales en forma de ecuaciones algebraicas. [1] En el método de volumen finito, las integrales de volumen en una ecuación diferencial parcial que contienen un término de divergencia se convierten en integrales de superficie , utilizando el teorema de divergencia . Estos términos luego se evalúan como flujos en las superficies de cada volumen finito. Debido a que el flujo que ingresa a un volumen dado es idéntico al que sale del volumen adyacente, estos métodos son conservadores.. Otra ventaja del método de volumen finito es que se formula fácilmente para permitir mallas no estructuradas. El método se utiliza en muchos paquetes de dinámica de fluidos computacional . "Volumen finito" se refiere al pequeño volumen que rodea cada punto de nodo en una malla.
Los métodos de volumen finito se pueden comparar y contrastar con los métodos de diferencias finitas , que aproximan derivadas usando valores nodales, o métodos de elementos finitos , que crean aproximaciones locales de una solución usando datos locales y construyen una aproximación global uniéndolas. En contraste, un método de volumen finito evalúa expresiones exactas para el valor promedio de la solución sobre cierto volumen y usa estos datos para construir aproximaciones de la solución dentro de las celdas. [2] [3]
Ejemplo
Considere un simple problema de advección 1D :
( 1 )
Aquí, representa la variable de estado y representa el flujo o flujo de. Convencionalmente, positivo representa el flujo hacia la derecha mientras que es negativo representa el flujo a la izquierda. Si asumimos que la ecuación ( 1 ) representa un medio fluido de área constante, podemos subdividir el dominio espacial,, en volúmenes finitos o celdas con centros celulares indexados como. Para una celda en particular,, podemos definir el valor promedio de volumen de en el momento y , como
( 2 )
y a la vez como,
( 3 )
dónde y representan ubicaciones de las caras o aristas aguas arriba y aguas abajo, respectivamente, de la célula.
Integrando la ecuación ( 1 ) en el tiempo, tenemos:
( 4 )
dónde .
Para obtener el promedio de volumen de en el momento , integramos sobre el volumen celular, y dividir el resultado por , es decir
( 5 )
Asumimos que se porta bien y que podemos revertir el orden de integración. Además, recuerde que el flujo es normal a la unidad de área de la celda. Ahora, ya que en una dimensión, podemos aplicar el teorema de la divergencia , es decir, y sustituir la integral de volumen de la divergencia con los valores de evaluado en la superficie de la celda (bordes y ) del volumen finito de la siguiente manera:
( 6 )
dónde .
Por tanto, podemos deducir una semi-discretos esquema numérico para el problema anterior con los centros celulares como indexados, y con flujos de borde de celda indexados como , diferenciando ( 6 ) con respecto al tiempo para obtener:
( 7 )
donde los valores de los flujos de borde, , se puede reconstruir por interpolación o extrapolación de los promedios celulares. La ecuación ( 7 ) es exacta para los promedios de volumen; es decir, no se han realizado aproximaciones durante su derivación.
Este método también se puede aplicar a una situación 2D considerando las caras norte y sur junto con las caras este y oeste alrededor de un nodo.
Ley general de conservación
También podemos considerar el problema de la ley de conservación general , representado por el siguiente PDE ,
( 8 )
Aquí, representa un vector de estados y representa el tensor de flujo correspondiente . De nuevo, podemos subdividir el dominio espacial en volúmenes o células finitos. Para una celda en particular,, tomamos la integral de volumen sobre el volumen total de la celda, , lo que da,
( 9 )
Al integrar el primer término para obtener el promedio de volumen y aplicar el teorema de divergencia al segundo, se obtiene
( 10 )
dónde representa el área de superficie total de la celda y es un vector unitario normal a la superficie y apuntando hacia afuera. Entonces, finalmente, podemos presentar el resultado general equivalente a ( 8 ), es decir
( 11 )
De nuevo, los valores de los flujos de borde se pueden reconstruir mediante interpolación o extrapolación de los promedios de las celdas. El esquema numérico real dependerá de la geometría del problema y la construcción de la malla. La reconstrucción de MUSCL se usa a menudo en esquemas de alta resolución donde hay choques o discontinuidades en la solución.
Los esquemas de volumen finito son conservadores ya que los promedios de celda cambian a través de los flujos de borde. En otras palabras, ¡ la pérdida de una celda es la ganancia de otra celda !
Ver también
Otras lecturas
- Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000) El método de volumen finito Manual de análisis numérico, vol. VII, 2000, pág. 713–1020. Editores: PG Ciarlet y JL Lions.
- Hirsch, C. (1990), Computación numérica de flujos internos y externos, Volumen 2: Métodos computacionales para flujos viscosos y invisibles , Wiley.
- Laney, Culbert B. (1998), Dinámica computacional de gases , Cambridge University Press.
- LeVeque, Randall (1990), Métodos numéricos para las leyes de conservación , Serie de Conferencias ETH en Matemáticas, Birkhauser-Verlag.
- LeVeque, Randall (2002), Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos , Cambridge University Press.
- Patankar, Suhas V. (1980), Transferencia numérica de calor y flujo de fluidos , Hemisferio.
- Tannehill, John C. , et al., (1997), Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor , 2ª edición, Taylor y Francis.
- Toro, EF (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , Springer-Verlag.
- Wesseling, Pieter (2001), Principios de dinámica de fluidos computacional , Springer-Verlag.
Referencias
- ^ LeVeque, Randall (2002). Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos . ISBN 9780511791253.
- ^ Fallah, NA; Bailey, C .; Cross, M .; Taylor, GA (1 de junio de 2000). "Comparación de la aplicación de métodos de elementos finitos y volúmenes finitos en análisis de tensiones geométricamente no lineales" . Modelado matemático aplicado . 24 (7): 439–455. doi : 10.1016 / S0307-904X (99) 00047-5 . ISSN 0307-904X .
- ^ Ranganayakulu, C. (Chennu). "Capítulo 3, Sección 3.1". Intercambiadores de calor compactos: análisis, diseño y optimización mediante enfoque FEM y CFD . Seetharamu, KN Hoboken, Nueva Jersey. ISBN 978-1-119-42435-2. OCLC 1006524487 .
enlaces externos
- Métodos de volumen finito de R. Eymard, T Gallouët y R. Herbin , actualización del artículo publicado en Handbook of Numerical Analysis, 2000
- Rübenkönig, Oliver. "El método de volumen finito (FVM) - Una introducción" . Archivado desde el original el 2 de octubre de 2009. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ), disponible bajo la GFDL . - FiPy: un solucionador de PDE de volumen finito que utiliza Python de NIST.
- CLAWPACK : un paquete de software diseñado para calcular soluciones numéricas a ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas utilizando un enfoque de propagación de ondas