En la teoría de gráficos topológicos , un gráfico de cinta es una forma de representar incrustaciones de gráficos , equivalente en potencia a los sistemas de rotación firmados o mapas codificados por gráficos . [1] Es conveniente para visualizaciones de incrustaciones, porque puede representar superficies no orientadas sin auto-intersecciones (a diferencia de las incrustaciones de toda la superficie en el espacio euclidiano tridimensional ) y porque omite las partes de la superficie que están lejos del gráfico, permitiendo agujeros a través de los cuales se puede ver el resto de la incrustación. Los gráficos de cinta también se denominan gráficos de grasa . [2]
Definición
En una representación de gráfico de cinta, cada vértice de un gráfico está representado por un disco topológico, y cada borde está representado por un rectángulo topológico con dos extremos opuestos pegados a los bordes de los discos de vértice (posiblemente al mismo disco que el otro). [3]
Embeddings
Se puede obtener una representación de gráfico de cinta a partir de la incrustación de un gráfico en una superficie (y una métrica en la superficie) eligiendo un número suficientemente pequeño, y representa cada vértice y arista por su - Barrios en superficie. [1] [4] Para valores pequeños de, los rectángulos de los bordes se vuelven largos y delgados como cintas , dando el nombre a la representación.
En la otra dirección, a partir de un gráfico de cinta, se pueden encontrar las caras de su incrustación correspondiente como los componentes del límite de la superficie topológica formada por el gráfico de cinta. Se puede recuperar la propia superficie pegando un disco topológico al gráfico de cinta a lo largo de cada componente del límite. La partición de la superficie en discos de vértice, discos de borde y discos frontales dada por el gráfico de cinta y este proceso de encolado es una representación diferente pero relacionada de la incrustación llamada ' descomposición de banda ' . [5] La superficie sobre la que está incrustado el gráfico puede determinarse por si es orientable (verdadero si cualquier ciclo en el gráfico tiene un número impar de giros) y por su característica de Euler .
Las incrustaciones que se pueden representar mediante gráficos de cinta son aquellas en las que un gráfico está incrustado en una variedad de 2 (sin límite) y en las que cada cara de la incrustación es un disco topológico. [1]
Equivalencia
Se dice que dos representaciones de gráfico de cinta son equivalentes (y definen incrustaciones de gráficos homeomórficos ) si están relacionadas entre sí como un homeomorfismo del espacio topológico formado por la unión de los discos de vértice y rectángulos de borde que conserva la identificación de estas características. [3] Las representaciones de gráficos de cinta pueden ser equivalentes incluso si no es posible deformar una en la otra dentro del espacio 3D: esta noción de equivalencia considera solo la topología intrínseca de la representación, y no cómo está incrustada.
Sin embargo, los gráficos de cinta también se aplican en la teoría de nudos, [4] y en esta aplicación también se pueden usar nociones más débiles de equivalencia que tienen en cuenta la incrustación 3d.
Referencias
- ↑ a b c Dehmer, Matthias (2010), Análisis estructural de redes complejas , Springer, p. 267, ISBN 9780817647896
- ^ "Ribbon graph" , nLab , consultado el 13 de diciembre de 2017
- ^ a b Ellis-Monaghan, Joanna A .; Moffatt, Iain (2013), "1.1.4 Gráficos de cinta", Gráficos sobre superficies: dualidades, polinomios y nudos , SpringerBriefs in Mathematics, Springer, págs. 5-7, ISBN 9781461469711
- ^ a b Gelca, Răzvan (2014), Funciones y nudos Theta , World Scientific, p. 289, ISBN 9789814520584
- ^ Ellis-Monaghan y Moffatt (2013) , 1.1.5 Descomposiciones de bandas, págs. 7-8.