En matemáticas , la ecuación diferencial de Riemann , llamada así por Bernhard Riemann , es una generalización de la ecuación diferencial hipergeométrica , permitiendo que los puntos singulares regulares (RSP) ocurran en cualquier lugar de la esfera de Riemann , en lugar de simplemente en 0, 1 y. La ecuación también se conoce como ecuación de Papperitz . [1]
La ecuación diferencial hipergeométrica es una ecuación diferencial lineal de segundo orden que tiene tres puntos singulares regulares, 0, 1 y. Esa ecuación admite dos soluciones linealmente independientes; cerca de una singularidad, las soluciones toman la forma , dónde es una variable local, y es localmente holomórfico con . El numero real se llama exponente de la solución en . Sean α , β y γ los exponentes de una solución en 0, 1 yrespectivamente; y sean α ' , β' y γ ' los del otro. Luego
Al aplicar cambios adecuados de variable, es posible transformar la ecuación hipergeométrica: la aplicación de transformaciones de Möbius ajustará las posiciones de los RSP, mientras que otras transformaciones (ver más abajo) pueden cambiar los exponentes en los RSP, sujeto a que los exponentes sumen 1 .
Definición
La ecuación diferencial está dada por
Los puntos singulares regulares son una , b , y c . Los exponentes de las soluciones en estos RSP son, respectivamente, α ; α ' , β ; β ' y γ ; γ ′ . Como antes, los exponentes están sujetos a la condición
Soluciones y relación con la función hipergeométrica
Las soluciones se indican con el símbolo P de Riemann (también conocido como símbolo de Papperitz )
La función hipergeométrica estándar se puede expresar como
Las funciones P obedecen a una serie de identidades; uno de ellos permite expresar una función P general en términos de la función hipergeométrica. Es
En otras palabras, se pueden escribir las soluciones en términos de la función hipergeométrica como
De esta manera se puede obtener el complemento completo de las 24 soluciones de Kummer ; ver el artículo ecuación diferencial hipergeométrica para un tratamiento de las soluciones de Kummer.
Transformaciones lineales fraccionales
La función P posee una simetría simple bajo la acción de transformaciones lineales fraccionarias conocidas como transformaciones de Möbius (que son las reasignaciones conformes de la esfera de Riemann), o equivalentemente, bajo la acción del grupo GL (2, C ) . Dados números complejos arbitrarios A , B , C , D tales que AD - BC ≠ 0 , defina las cantidades
y
entonces uno tiene la relación simple
expresando la simetría.
Ver también
Notas
- ^ Siklos, Stephen. "La ecuación de Papperitz" (PDF) . Consultado el 21 de abril de 2014 .
Referencias
- Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds., Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas (Dover: Nueva York, 1972)
- Capítulo 15 Funciones hipergeométricas
- Sección 15.6 Ecuación diferencial de Riemann
- Capítulo 15 Funciones hipergeométricas