Integral múltiple

En matemáticas (específicamente cálculo multivariable ), una integral múltiple es una integral definida de una función de varias variables reales , por ejemplo, $f (x, y)$ o $f (x, y, z)$ . Las integrales de una función de dos variables sobre una región en (el plano de números reales ) se llaman integrales dobles , y las integrales de una función de tres variables sobre una región en (espacio 3D de números reales) se llaman integrales triples . ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {3}}$ ^[1] Para integrales múltiples de una función de una sola variable, consulte la fórmula de Cauchy para integración repetida .

Así como la integral definida de una función positiva de una variable representa el área de la región entre la gráfica de la función y el eje $x , la$ integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función (en el plano cartesiano tridimensional donde $z = f (x, y)$ ) y el plano que contiene su dominio . ^[1] Si hay más variables, una integral múltiple producirá hipervolúmenes de funciones multidimensionales.

La integración múltiple de una función en $n$ variables: $f (x 1, x 2, ..., x n)$ sobre un dominio $D$ se representa más comúnmente mediante signos integrales anidados en el orden inverso de ejecución (el signo integral más a la izquierda se calcula al final ), seguido de los argumentos de función e integrando en el orden correcto (la integral con respecto al argumento más a la derecha se calcula en último lugar). El dominio de integración se representa simbólicamente para cada argumento sobre cada signo integral, o se abrevia con una variable en el signo integral más a la derecha: ^[2]

Dado que el concepto de antiderivada solo se define para funciones de una sola variable real, la definición habitual de integral indefinida no se extiende inmediatamente a la integral múltiple.

Divida cada intervalo $[a j, b j)$ en una familia finita $I j$ de subintervalos no superpuestos $i j α$ , con cada subintervalo cerrado en el extremo izquierdo y abierto en el extremo derecho.

Sea $f : T \to R$ una función definida en $T$ . Considere una partición $C$ de $T$ como se define arriba, tal que $C$ es una familia de $m$ subrectángulos $C m$ y

Integral como área entre dos curvas.

Integral doble como volumen bajo una superficie

z = 10 - x 2 - y 2 / 8

. La región rectangular en la parte inferior del cuerpo es el dominio de integración, mientras que la superficie es la gráfica de la función de dos variables a integrar.

Transformación de coordenadas cartesianas a polares.

Ejemplo de una transformación de dominio de cartesiano a polar.

Coordenadas cilíndricas.

Coordenadas esféricas.

Ejemplo: integral doble sobre la región normal D

Ejemplo de dominio en R ³ que es normal con respecto al plano xy .

Ejemplo de un dominio impropio.