Un solucionador de Riemann es un método numérico utilizado para resolver un problema de Riemann . Se utilizan mucho en dinámica de fluidos computacional y magnetohidrodinámica computacional .
Definición
En términos generales, los solucionadores de Riemann son métodos específicos para calcular el flujo numérico a través de una discontinuidad en el problema de Riemann. [1] Forman una parte importante de los esquemas de alta resolución ; Normalmente, los estados derecho e izquierdo del problema de Riemann se calculan utilizando alguna forma de reconstrucción no lineal, como un limitador de flujo o un método WENO , y luego se utilizan como entrada para el solucionador de Riemann. [2]
Solucionadores exactos
A Sergei K. Godunov se le atribuye la introducción del primer solucionador de Riemann exacto para las ecuaciones de Euler, [3] al extender el método CIR (Courant-Isaacson-Rees) anterior a sistemas no lineales de leyes de conservación hiperbólicas. Los solucionadores modernos pueden simular efectos relativistas y campos magnéticos.
Investigaciones más recientes muestran que existe una solución en serie exacta al problema de Riemann, que puede converger lo suficientemente rápido en algunos casos para evitar los métodos iterativos requeridos en el esquema de Godunov. [4]
Solucionadores aproximados
Como las soluciones iterativas son demasiado costosas, especialmente en magnetohidrodinámica, deben hacerse algunas aproximaciones. Algunos solucionadores populares son:
Solucionador de huevas
Philip L. Roe utilizó la linealización del jacobiano, que luego resuelve exactamente. [5]
Solucionador de HLLE
El solucionador HLLE (desarrollado por Ami Harten , Peter Lax , Bram van Leer y Einfeldt) es una solución aproximada al problema de Riemann, que solo se basa en la forma integral de las leyes de conservación y las velocidades de señal más grandes y más pequeñas en la interfaz. [6] [7] La estabilidad y robustez del solucionador de HLLE está estrechamente relacionada con las velocidades de la señal y un solo estado promedio central, como lo propuso Einfeldt en el artículo original.
Solucionador de HLLC
Toro presentó el solucionador HLLC (Harten-Lax-van Leer-Contact). [8] Restaura la onda de Rarefacción faltante según algunas estimaciones, como las linealizaciones, que pueden ser simples pero también existen más avanzadas como usar la velocidad promedio de Roe para la velocidad de onda media. Son bastante robustos y eficientes pero algo más difusivos. [9]
Solucionadores de Riemann híbridos rotados
Estos solucionadores fueron introducidos por Hiroaki Nishikawa y Kitamura, [10] para superar los problemas de carbunclo del solucionador Roe y la difusión excesiva del solucionador HLLE al mismo tiempo. Desarrollaron solucionadores de Riemann robustos y precisos combinando el solucionador de Roe y los solucionadores de HLLE / Rusanov: muestran que al aplicarse en dos direcciones ortogonales, los dos solucionadores de Riemann se pueden combinar en un solo solucionador de tipo Roe (el solucionador de Roe con velocidades de onda modificadas ). En particular, el derivado de los solucionadores Roe y HLLE, llamado solucionador Rotated-RHLL, es extremadamente robusto (sin carbuncos para todos los casos de prueba posibles en cuadrículas estructuradas y no estructuradas) y preciso (tan preciso como el solucionador Roe para el límite cálculo de capa).
Otros solucionadores
Hay una variedad de otros solucionadores disponibles, incluyendo más variantes del esquema HLL [11] y solucionadores basados en la división de flujo a través de la descomposición característica. [12]
Notas
- ^ LeVeque, Randall J., 1955- (1992). Métodos numéricos para las leyes de conservación (2ª ed.). Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2723-5. OCLC 25281500 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Toro, EF (2006). Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos: una introducción práctica (3ª ed. [Rev.]). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-49834-6. OCLC 405546150 .
- ^ Godunov, SK (1959), "Un esquema de diferencias para el cálculo numérico de la solución discontinua de la ecuación hiperbólica", Mat. Sbornik , 47 : 271-306
- ^ Wu, YY; Cheung, KF (2008), "Solución explícita al problema exacto de Riemann y aplicación en ecuaciones no lineales de aguas poco profundas", Int. J. Numer. Meth. Fluidos , 57 (11): 1649–1668, código Bib : 2008IJNMF..57.1649W , doi : 10.1002 / fld.1696
- ^ Roe, PL (1981), "Solucionadores de Riemann aproximados, vectores de parámetros y esquemas de diferencias", J. Comput. Phys. , 43 (2): 357–372, Bibcode : 1981JCoPh..43..357R , doi : 10.1016 / 0021-9991 (81) 90128-5
- ^ Harten, Amiram; Lax, Peter D .; Van Leer, Bram (1983). "Sobre esquemas de diferenciación aguas arriba y tipo Godunov para leyes de conservación hiperbólica". Revisión SIAM . 25 (1): 35–61. doi : 10.1137 / 1025002 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2030019 .
- ^ Einfeldt, B. (1988), "Sobre métodos de tipo Godunov para la dinámica de gases", SIAM J. Numer. Anal. , 25 (2): 294–318, Bibcode : 1988SJNA ... 25..294E , doi : 10.1137 / 0725021
- ^ Toro, EF; Abeto, M .; Speares, W. (1994), "Restauración de la superficie de contacto en el solucionador HLL-Riemann", Shock Waves , 4 (1): 25–34, Bibcode : 1994ShWav ... 4 ... 25T , doi : 10.1007 / BF01414629
- ^ Quirk, JJ (1994), "Una contribución al gran debate del solucionador de Riemann", Int. J. Numer. Meth. Fluidos , 18 (6): 555–574, Código Bib : 1994IJNMF..18..555Q , doi : 10.1002 / fld.1650180603 , hdl : 2060/19930015894 .
- ^ Nishikawa, H .; Kitamura, K. (2008), "Solvers de Riemann híbridos rotados, muy simples, sin ántrax, resolución de capa límite, híbridos rotados", J. Comput. Phys. , 227 (4): 2560–2581, Bibcode : 2008JCoPh.227.2560N , doi : 10.1016 / j.jcp.2007.11.003
- ^ Miyoshi, Takahiro; Kusano, Kanya (septiembre de 2005). "Un solucionador de Riemann aproximado de HLL multiestado para magnetohidrodinámica ideal". Revista de Física Computacional . 208 (1): 315–344. Código bibliográfico : 2005JCoPh.208..315M . doi : 10.1016 / j.jcp.2005.02.017 .
- ^ Donat, R .; Font, JA; Ibáñez, J.Ma; Marquina, A. (octubre de 1998). "Un algoritmo de división de flujo aplicado a flujos relativistas". Revista de Física Computacional . 146 (1): 58–81. Código bibliográfico : 1998JCoPh.146 ... 58D . doi : 10.1006 / jcph.1998.5955 .
Ver también
- El esquema de Godunov
- Dinámica de fluidos computacional
- Magnetohidrodinámica computacional
Referencias
- Toro, Eleuterio F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , Berlín: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-65966-2