En matemáticas , un semigrupo nulo (también llamado semigrupo cero ) es un semigrupo con un elemento absorbente , llamado cero , en el que el producto de dos elementos cualesquiera es cero. [1] Si cada elemento de un semigrupo es un cero izquierdo, entonces el semigrupo se denomina semigrupo de cero izquierdo ; un semigrupo de cero a la derecha se define de forma análoga. [2] Según Clifford y Preston, "a pesar de su trivialidad, estos semigrupos surgen naturalmente en una serie de investigaciones". [1]
Semigrupo nulo
Deje S ser un semigrupo con elemento 0. cero, entonces S se llama un semigrupo nula si para todo x e y en S tenemos xy = 0.
Tabla Cayley para un semigrupo nulo
Sea S = {0, a , b , c } un semigrupo nulo. Entonces, la tabla de Cayley para S es la siguiente:
0 | a | B | C | |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
a | 0 | 0 | 0 | 0 |
B | 0 | 0 | 0 | 0 |
C | 0 | 0 | 0 | 0 |
Semigrupo de cero a la izquierda
Un semigrupo en el que cada elemento es un elemento de cero a la izquierda se denomina semigrupo de cero a la izquierda . Así, un semigrupo S es un izquierda cero semigrupo si para todo x y y en S tenemos xy = x .
Tabla de Cayley para un semigrupo de cero a la izquierda
Sea S = { a , b , c } un semigrupo de cero a la izquierda. Entonces, la tabla de Cayley para S es la siguiente:
a | B | C | |
---|---|---|---|
a | a | a | a |
B | B | B | B |
C | C | C | C |
Semigrupo de cero a la derecha
Un semigrupo en el que cada elemento es un elemento cero derecho se llama semigrupo cero derecho . Así, un semigrupo S es un derecho cero semigrupo si para todo x y y en S tenemos xy = y .
Mesa Cayley para un semigrupo de cero a la derecha
Sea S = { a , b , c } un semigrupo de cero a la derecha. Entonces, la tabla de Cayley para S es la siguiente:
a | B | C | |
---|---|---|---|
a | a | B | C |
B | a | B | C |
C | a | B | C |
Propiedades
Un semigrupo nulo no trivial (cero izquierda / derecha) no contiene un elemento de identidad. De ello se deduce que el único monoide nulo (cero izquierda / derecha) es el monoide trivial.
El conjunto de semigrupo nulo es:
- empresa cerrada tomando subsemigroup
- cerrado tomando cociente de subsemigroup
- cerrado bajo producto directo arbitrario .
De ello se deduce que el conjunto de semigrupos nulos (cero izquierdo / derecho) es una variedad de álgebra universal y, por lo tanto, una variedad de semigrupos finitos . La variedad de semigrupos nulos finitos está definida por la identidad ab = cd .
Ver también
Referencias
- ^ a b A H Clifford; GB Preston (1964). La teoría algebraica de semigroups Vol I . Encuestas matemáticas. 1 (2 ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 3–4. ISBN 978-0-8218-0272-4.
- ^ M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a productos de guirnaldas y gráficos , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 , pág. 19