Lleva el nombre del siglo 19 británico matemático Arthur Cayley , una tabla de Cayley describe la estructura de un grupo finito mediante la disposición de todos los posibles productos de todos los elementos del grupo en una mesa cuadrada que recuerda de una adición o tabla de multiplicar . Muchas propiedades de un grupo, como si es abeliano o no , qué elementos son inversos de qué elementos y el tamaño y contenido del centro del grupo, se pueden descubrir en su tabla de Cayley.
Un ejemplo simple de una tabla de Cayley es el del grupo {1, −1} bajo la multiplicación ordinaria :
× | 1 | −1 |
---|---|---|
1 | 1 | −1 |
−1 | −1 | 1 |
Historia
Las tablas de Cayley se presentaron por primera vez en el artículo de Cayley de 1854, "Sobre la teoría de los grupos, dependiendo de la ecuación simbólica θ n = 1". En ese documento se las denominaba simplemente tablas, y eran meramente ilustrativas; más tarde se las conoció como tablas Cayley, en honor a su creador.
Estructura y distribución
Debido a que muchas tablas de Cayley describen grupos que no son abelianos , no se garantiza que el producto ab con respecto a la operación binaria del grupo sea igual al producto ba para todos los a y b del grupo. Para evitar confusiones, la convención es que el factor que etiqueta la fila (denominado factor más cercano por Cayley) es el primero y que el factor que etiqueta la columna (o el factor adicional ) es el segundo. Por ejemplo, la intersección de la fila una y la columna b es ab y no ba , como en el siguiente ejemplo:
* | a | B | C |
---|---|---|---|
a | un 2 | ab | C.A |
B | licenciado en Letras | b 2 | antes de Cristo |
C | California | cb | c 2 |
Propiedades y usos
Conmutatividad
La tabla de Cayley nos dice si un grupo es abeliano . Debido a que la operación de grupo de un grupo abeliano es conmutativa , un grupo es abeliano si y solo si los valores de su tabla de Cayley son simétricos a lo largo de su eje diagonal. El grupo cíclico de orden 3, arriba, y {1, −1} bajo la multiplicación ordinaria, también arriba, son ambos ejemplos de grupos abelianos, y la inspección de la simetría de sus tablas de Cayley verifica esto. En contraste, el grupo no abeliano más pequeño, el grupo diedro de orden 6 , no tiene una tabla de Cayley simétrica.
Asociatividad
Debido a que la asociatividad se toma como un axioma cuando se trata de grupos, a menudo se da por sentado cuando se trata de tablas de Cayley. Sin embargo, las tablas de Cayley también se pueden utilizar para caracterizar el funcionamiento de un cuasigrupo , que no asume la asociatividad como un axioma (de hecho, las tablas de Cayley se pueden utilizar para caracterizar el funcionamiento de cualquier magma finito ). Desafortunadamente, generalmente no es posible determinar si una operación es asociativa o no simplemente echando un vistazo a su tabla Cayley, como ocurre con la conmutatividad. Esto se debe a que la asociatividad depende de una ecuación de 3 términos,, mientras que la tabla de Cayley muestra productos a 2 términos. Sin embargo, la prueba de asociatividad de Light puede determinar la asociatividad con menos esfuerzo que la fuerza bruta.
Permutaciones
Debido a que la propiedad de cancelación es válida para grupos (e incluso cuasigrupos), ninguna fila o columna de una tabla Cayley puede contener el mismo elemento dos veces. Por tanto, cada fila y columna de la tabla es una permutación de todos los elementos del grupo. Esto restringe en gran medida qué tablas de Cayley podrían definir posiblemente una operación de grupo válida.
Para ver por qué una fila o columna no pueden contener el mismo elemento más de una vez, dejar que un , x , y y todo ser elementos de un grupo, con x y y distinta. Luego, en la fila que representa el elemento de una , la columna correspondiente a x contiene el producto de hacha , y de manera similar la columna correspondiente a y contiene el producto ay . Si estos dos productos fueran iguales, es decir, la fila a contuviera el mismo elemento dos veces, nuestra hipótesis, entonces ax sería igual a ay . Pero debido a que se cumple la ley de cancelación, podemos concluir que si ax = ay , entonces x = y , una contradicción . Por lo tanto, nuestra hipótesis es incorrecta y una fila no puede contener el mismo elemento dos veces. Exactamente el mismo argumento es suficiente para probar el caso de la columna, por lo que concluimos que cada fila y columna no contiene ningún elemento más de una vez. Debido a que el grupo es finito, el principio del casillero garantiza que cada elemento del grupo estará representado en cada fila y en cada columna exactamente una vez.
Así, la tabla Cayley de un grupo es un ejemplo de cuadrado latino .
Otra prueba, quizás más simple: la propiedad de cancelación implica que para cada x en el grupo, la función de una variable de yf (x, y) = xy debe ser un mapa uno a uno. Y los mapas uno a uno en conjuntos finitos son permutaciones.
Construyendo mesas Cayley
Debido a la estructura de los grupos, muy a menudo se pueden "completar" tablas de Cayley a las que les faltan elementos, incluso sin tener una caracterización completa de la operación del grupo en cuestión. Por ejemplo, debido a que cada fila y columna debe contener todos los elementos del grupo, si se contabilizan todos los elementos excepto uno, y hay un espacio en blanco, sin saber nada más sobre el grupo es posible concluir que el elemento no contabilizado debe ocupar el espacio en blanco restante. Resulta que esta y otras observaciones sobre los grupos en general nos permiten construir las tablas de Cayley de grupos que saben muy poco sobre el grupo en cuestión.
El "esqueleto de identidad" de un grupo finito
Debido a que en cualquier grupo, incluso en un grupo no abeliano, cada elemento conmuta con su propio inverso, se deduce que la distribución de los elementos de identidad en la tabla Cayley será simétrica a lo largo de la diagonal de la tabla. Aquellos que se encuentran en la diagonal son su propio inverso único.
Debido a que el orden de las filas y columnas de una tabla de Cayley es de hecho arbitrario, es conveniente ordenarlas de la siguiente manera: comenzando con el elemento de identidad del grupo, que siempre es su propio inverso, enumere primero todos los elementos que son suyos. propio inverso, seguido de pares de inversos enumerados adyacentes entre sí.
Entonces, para un grupo finito de un orden particular, es fácil caracterizar su "esqueleto de identidad", llamado así porque los elementos de identidad en la tabla Cayley están agrupados alrededor de la diagonal principal, o se encuentran directamente sobre ella o son uno. eliminado de ella.
Es relativamente trivial demostrar que los grupos con diferentes esqueletos de identidad no pueden ser isomórficos , aunque lo contrario no es cierto (por ejemplo, el grupo cíclico C 8 y el grupo de cuaterniones Q no son isomorfos pero tienen el mismo esqueleto de identidad).
Considere un grupo de seis elementos con los elementos e , a , b , c , d y f . Por convención, e es el elemento de identidad del grupo. Debido a que el elemento de identidad es siempre su propio inverso y los inversos son únicos, el hecho de que haya 6 elementos en este grupo significa que al menos un elemento distinto de e debe ser su propio inverso. Entonces tenemos los siguientes esqueletos posibles:
- todos los elementos son sus propios inversos,
- todos los elementos ahorro d y f son sus propios inversos, cada uno de estos dos últimos son inverso del otro,
- una es su propio inverso, b y c son inversas, y d y f son inversas.
En nuestro ejemplo particular, no existe un grupo del primer tipo de orden 6; de hecho, el simple hecho de que un esqueleto de identidad particular sea concebible no significa en general que exista un grupo que se ajuste a él.
Cualquier grupo en el que cada elemento es su propia inversa es abeliano: dejar que una y b ser elementos del grupo, entonces ab = ( ab ) -1 = b -1 un -1 = BA .
Completando el esqueleto de identidad
Una vez que se ha decidido un esqueleto de identidad en particular, es posible comenzar a completar la tabla Cayley. Por ejemplo, tome el esqueleto de identidad de un grupo de orden 6 del segundo tipo descrito anteriormente:
mi | a | B | C | D | F | |
---|---|---|---|---|---|---|
mi | mi | |||||
a | mi | |||||
B | mi | |||||
C | mi | |||||
D | mi | |||||
F | mi |
Obviamente, la fila e y la columna e se pueden completar inmediatamente. Una vez hecho esto, puede ser necesario (y es necesario, en nuestro caso) hacer una suposición, que luego puede conducir a una contradicción, lo que significa simplemente que nuestra suposición inicial era falsa. Supondremos que ab = c . Luego:
mi | a | B | C | D | F | |
---|---|---|---|---|---|---|
mi | mi | a | B | C | D | F |
a | a | mi | C | |||
B | B | mi | ||||
C | C | mi | ||||
D | D | mi | ||||
F | F | mi |
Multiplicar ab = c a la izquierda por a da b = ac . Multiplicar a la derecha por c da bc = a . Multiplicar ab = c a la derecha por b da a = cb . Multiplicar bc = a a la izquierda por b da c = ba , y multiplicar eso a la derecha por a da ca = b . Después de llenar estos productos en la mesa, nos encontramos con que el anuncio y af siguen desaparecidas en el una fila; como sabemos que cada elemento del grupo debe aparecer en cada fila exactamente una vez, y que sólo d y f no se tienen en cuenta, sabemos que ad debe ser igual a d o f ; pero no puede ser igual a d , porque si lo fuera, eso implicaría que a es igual a e , cuando sabemos que son distintos. Por tanto, tenemos ad = f y af = d .
Además, dado que la inversa de d es f , multiplicar ad = f a la derecha por f da a = f 2 . Multiplicar esto de la izquierda por d nos da da = f . Multiplicando esto a la derecha por a , tenemos d = fa .
Al completar todos estos productos, la mesa Cayley ahora se ve así:
mi | a | B | C | D | F | |
---|---|---|---|---|---|---|
mi | mi | a | B | C | D | F |
a | a | mi | C | B | F | D |
B | B | C | mi | a | ||
C | C | B | a | mi | ||
D | D | F | mi | |||
F | F | D | mi | a |
Debido a que cada fila debe tener todos los elementos del grupo representados exactamente una vez, es fácil ver que los dos espacios en blanco en la fila b deben estar ocupados por d o f . Sin embargo, si se examinan las columnas que contienen estos dos espacios en blanco, las columnas d y f , se encuentra que d y f ya se han completado en ambos, lo que significa que independientemente de cómo se coloquen d y f en la fila b , siempre violar la regla de permutación. Debido a que nuestras deducciones algebraicas hasta este punto eran sólidas, solo podemos concluir que nuestra suposición anterior, sin fundamento, de que ab = c era, de hecho, falsa. Esencialmente, adivinamos y adivinamos incorrectamente. Sin embargo, hemos aprendido algo: ab ≠ c .
Las únicas dos posibilidades restantes son entonces que ab = do que ab = f ; esperaríamos que estas dos suposiciones tuvieran el mismo resultado, hasta el isomorfismo, porque d y f son inversas entre sí y las letras que las representan son inherentemente arbitrarias de todos modos. Entonces, sin pérdida de generalidad, tome ab = d . Si llegamos a otra contradicción, debemos asumir que ningún grupo de orden 6 tiene el esqueleto identitario con el que comenzamos, ya que habremos agotado todas las posibilidades.
Aquí está la nueva tabla Cayley:
mi | a | B | C | D | F | |
---|---|---|---|---|---|---|
mi | mi | a | B | C | D | F |
a | a | mi | D | |||
B | B | mi | ||||
C | C | mi | ||||
D | D | mi | ||||
F | F | mi |
Multiplicando ab = d a la izquierda por a , tenemos b = ad . La multiplicación de la derecha por f da bf = a , y la multiplicación de la izquierda por b da f = ba . Multiplicando a la derecha por a , entonces tenemos fa = b , y la multiplicación a la izquierda por d da como resultado a = db . Completando la tabla Cayley, ahora tenemos (nuevas adiciones en rojo):
mi | a | B | C | D | F | |
---|---|---|---|---|---|---|
mi | mi | a | B | C | D | F |
a | a | mi | D | B | ||
B | B | F | mi | a | ||
C | C | mi | ||||
D | D | a | mi | |||
F | F | B | mi |
Desde la una fila no aparece C y F y desde AF no puede ser igual f (o una sería igual al correo , cuando sabemos que ellos sean distintos), se puede concluir que af = c . La multiplicación a la izquierda por a da entonces f = ac , que podemos multiplicar a la derecha por c para darnos fc = a . Multiplicar esto a la izquierda por d nos da c = da , que podemos multiplicar a la derecha por a para obtener ca = d . Del mismo modo, la multiplicación af = c a la derecha por d nos da una = cd . Actualizando la tabla, tenemos lo siguiente, con los cambios más recientes en azul:
mi | a | B | C | D | F | |
---|---|---|---|---|---|---|
mi | mi | a | B | C | D | F |
a | a | mi | D | F | B | C |
B | B | F | mi | a | ||
C | C | D | mi | a | ||
D | D | C | a | mi | ||
F | F | B | a | mi |
Dado que a la fila b le faltan c y d , y dado que bc no puede ser igual a c , se sigue que bc = d , y por lo tanto bd debe ser igual a c . Al multiplicar a la derecha por f, obtenemos b = cf , que podemos manipular aún más en cb = f multiplicando por c a la izquierda. Mediante una lógica similar, podemos deducir que c = fb y que dc = b . Completándolos, tenemos (con las últimas incorporaciones en verde):
mi | a | B | C | D | F | |
---|---|---|---|---|---|---|
mi | mi | a | B | C | D | F |
a | a | mi | D | F | B | C |
B | B | F | mi | D | C | a |
C | C | D | F | mi | a | B |
D | D | C | a | B | mi | |
F | F | B | C | a | mi |
Dado que a la fila d solo le falta f , sabemos que d 2 = f , y por lo tanto f 2 = d . Como hemos logrado llenar toda la tabla sin obtener una contradicción, hemos encontrado un grupo de orden 6: la inspección revela que no es abeliano. Este grupo es de hecho el grupo no abeliano más pequeño, el grupo diedro D 3 :
* | mi | a | B | C | D | F |
---|---|---|---|---|---|---|
mi | mi | a | B | C | D | F |
a | a | mi | D | F | B | C |
B | B | F | mi | D | C | a |
C | C | D | F | mi | a | B |
D | D | C | a | B | F | mi |
F | F | B | C | a | mi | D |
Generación de matriz de permutación
La forma estándar de una tabla Cayley tiene el orden de los elementos en las filas igual que el orden en las columnas. Otra forma consiste en disponer los elementos de las columnas para que el n corresponde columna º a la inversa del elemento en el n º fila. En nuestro ejemplo de D 3 , sólo tenemos que cambiamos las dos últimas columnas, ya que f y d son los únicos elementos que no son sus propios inversos, pero en lugar inversas entre sí.
mi | a | B | C | f = d −1 | d = f −1 | |
---|---|---|---|---|---|---|
mi | mi | a | B | C | F | D |
a | a | mi | D | F | C | B |
B | B | F | mi | D | a | C |
C | C | D | F | mi | B | a |
D | D | C | a | B | mi | F |
F | F | B | C | a | D | mi |
Este ejemplo en particular nos permite crear seis matrices de permutación (todos los elementos 1 o 0, exactamente un 1 en cada fila y columna). La matriz de 6x6 que representa un elemento tendrá un 1 en cada posición que tenga la letra del elemento en la tabla Cayley y un cero en todas las demás posiciones, la función delta de Kronecker para ese símbolo. (Tenga en cuenta que e está en cada posición hacia abajo de la diagonal principal, lo que nos da la matriz de identidad para matrices de 6x6 en este caso, como era de esperar). Aquí está la matriz que representa nuestro elemento a , por ejemplo.
mi | a | B | C | F | D | |
---|---|---|---|---|---|---|
mi | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
a | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
B | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
C | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
D | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
F | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Esto nos muestra directamente que cualquier grupo de orden n es un subgrupo del grupo de permutación S n , orden n !.
Generalizaciones
Las propiedades anteriores dependen de algunos axiomas válidos para grupos. Es natural considerar las tablas de Cayley para otras estructuras algebraicas, como semigrupos , cuasigrupos y magmas , pero algunas de las propiedades anteriores no se cumplen.
Ver también
Referencias
- Cayley, Arthur . "Sobre la teoría de grupos, según la ecuación simbólica θ n = 1", Revista Filosófica , Vol. 7 (1854), págs. 40–47. Disponible en línea en Google Books como parte de sus obras completas.
- Cayley, Arthur . "Sobre la teoría de los grupos", American Journal of Mathematics , vol. 11, núm. 2 (enero de 1889), págs. 139-157. Disponible en JSTOR.