El método Ritz es un método directo para encontrar una solución aproximada para problemas de valores de frontera . El método lleva el nombre de Walther Ritz , aunque también se denomina comúnmente método Rayleigh-Ritz y método Ritz-Galerkin .
En mecánica cuántica , un sistema de partículas se puede describir en términos de una "energía funcional" o hamiltoniana , que medirá la energía de cualquier configuración propuesta de dichas partículas. Resulta que ciertas configuraciones privilegiadas son más probables que otras configuraciones, y esto tiene que ver con el autoanálisis ("análisis de características") de este sistema hamiltoniano . Debido a que a menudo es imposible analizar todas las configuraciones infinitas de partículas para encontrar la que tiene la menor cantidad de energía, se vuelve esencial poder aproximar este hamiltoniano de alguna manera a los efectos de los cálculos numéricos .
El método Ritz se puede utilizar para lograr este objetivo. En el lenguaje de las matemáticas, es exactamente el método de elementos finitos utilizado para calcular los autovectores y autovalores de un sistema hamiltoniano.
Discusión
Al igual que con otros métodos variacionales , una función de onda de prueba ,, se prueba en el sistema. Esta función de prueba se selecciona para cumplir con las condiciones de contorno (y cualquier otra restricción física). Se desconoce la función exacta; la función de prueba contiene uno o más parámetros ajustables, que se varían para encontrar la configuración de energía más baja.
Se puede demostrar que la energía del estado fundamental, , satisface una desigualdad:
Es decir, la energía del estado fundamental es menor que este valor. La función de onda de prueba siempre dará un valor esperado mayor o igual que la energía del suelo.
Si se sabe que la función de onda de prueba es ortogonal al estado fundamental, proporcionará un límite para la energía de algún estado excitado.
La función ansatz de Ritz es una combinación lineal de N funciones básicas conocidas, parametrizado por coeficientes desconocidos:
Con un hamiltoniano conocido, podemos escribir su valor esperado como
Las funciones base generalmente no son ortogonales, por lo que la matriz de superposición S tiene elementos no diagonales distintos de cero. Ya sea o (la conjugación del primero) se puede utilizar para minimizar el valor esperado. Por ejemplo, al hacer las derivadas parciales de encima cero, se obtiene la siguiente igualdad para cada k = 1, 2, ..., N :
lo que conduce a un conjunto de N ecuaciones seculares :
En las ecuaciones anteriores, la energía y los coeficientes son desconocidos. Con respecto a c , este es un conjunto homogéneo de ecuaciones lineales, que tiene solución cuando el determinante de los coeficientes de estas incógnitas es cero:
que a su vez es cierto solo para N valores de. Además, dado que el hamiltoniano es un operador hermitiano , la matriz H también es hermitiana y los valores deserá real. El valor más bajo entre (i = 1,2, .., N), , será la mejor aproximación al estado fundamental para las funciones básicas utilizadas. Las energías N-1 restantes son estimaciones de energías en estado excitado. Se puede obtener una aproximación de la función de onda del estado i encontrando los coeficientes de la ecuación secular correspondiente.
La relación con el método de los elementos finitos
En el lenguaje del método de elementos finitos, la matriz es precisamente la matriz de rigidez del hamiltoniano en el espacio de elementos lineales por partes, y la matrizes la matriz de masas . En el lenguaje del álgebra lineal, el valor es un valor propio del hamiltoniano discretizado, y el vector es un vector propio discretizado.
Ver también
Fuentes
Documentos
- Walter Ritz (1909) "Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathischen Physik" Revista für die Reine und Angewandte Mathematik , vol. 135 , páginas 1–61. Disponible en línea en: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=261182 .
- JK MacDonald, "Aproximaciones sucesivas por el método de variación de Rayleigh-Ritz", Phys. Rev. 43 (1933) 830 Disponible en línea en: http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.43.830
enlaces externos
- Método Ritz en la Enciclopedia de Matemáticas
- Gander, Martin J .; Wanner, Gerhard (2012). "De Euler, Ritz y Galerkin a la informática moderna". Revisión SIAM . 54 (4): 627–666. doi : 10.1137 / 100804036 .