Un sistema hamiltoniano es un sistema dinámico gobernado por las ecuaciones de Hamilton . En física , este sistema dinámico describe la evolución de un sistema físico como un sistema planetario o un electrón en un campo electromagnético . Estos sistemas se pueden estudiar tanto en la mecánica hamiltoniana como en la teoría de sistemas dinámicos .
Descripción general
De manera informal, un sistema hamiltoniano es un formalismo matemático desarrollado por Hamilton para describir las ecuaciones de evolución de un sistema físico. La ventaja de esta descripción es que brinda información importante sobre la dinámica, incluso si el problema del valor inicial no se puede resolver analíticamente. Un ejemplo es el movimiento planetario de tres cuerpos: aunque no hay una solución simple al problema general, Poincaré mostró por primera vez que exhibe un caos determinista .
Formalmente, un sistema hamiltoniano es un sistema dinámico completamente descrito por la función escalar , el hamiltoniano. [1] El estado del sistema,, se describe mediante las coordenadas generalizadas 'momento' y 'posición' donde ambos y son vectores con la misma dimensión N . Entonces, el sistema está completamente descrito por el vector 2 N -dimensional
y la ecuación de evolución viene dada por las ecuaciones de Hamilton:
La trayectoria es la solución del problema de valor inicial definido por las ecuaciones de Hamilton y la condición inicial.
Sistema hamiltoniano independiente del tiempo
Si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, es decir, si , entonces el hamiltoniano no varía en absoluto con el tiempo: [1]
derivación |
y así el hamiltoniano es una constante de movimiento , cuya constante es igual a la energía total del sistema,. Ejemplos de tales sistemas son el péndulo , el oscilador armónico o el billar dinámico .
Ejemplo
Un ejemplo de sistema hamiltoniano independiente del tiempo es el oscilador armónico. Considere el sistema definido por las coordenadas y cuyo hamiltoniano está dado por
El hamiltoniano de este sistema no depende del tiempo y por tanto se conserva la energía del sistema.
Estructura simpléctica
Una propiedad importante de un sistema dinámico hamiltoniano es que tiene una estructura simpléctica . [1] Escritura
la ecuación de evolución del sistema dinámico se puede escribir como
dónde
y I N la N × N matriz de identidad .
Una consecuencia importante de esta propiedad es que se conserva un volumen de espacio de fase infinitesimal. [1] Un corolario de esto es el teorema de Liouville , que establece que en un sistema hamiltoniano, el volumen del espacio de fase de una superficie cerrada se conserva bajo la evolución del tiempo. [1]
donde la tercera igualdad proviene del teorema de divergencia .
Ejemplos de
- Billar dinámico
- Sistemas planetarios , más específicamente, el problema de los n cuerpos .
- Relatividad general canónica
Ver también
Referencias
Otras lecturas
- Almeida, AM (1992). Sistemas hamiltonianos: caos y cuantización . Monografías de Cambridge sobre física matemática. Cambridge (ua: Cambridge Univ. Press )
- Audin, M., (2008). Sistemas hamiltonianos y su integrabilidad . Providence, RI: Sociedad Americana de Matemáticas , ISBN 978-0-8218-4413-7
- Dickey, LA (2003). Ecuaciones de solitón y sistemas hamiltonianos . Serie avanzada en física matemática, v. 26. River Edge, Nueva Jersey: World Scientific .
- Treschev, D. y Zubelevich, O. (2010). Introducción a la teoría de la perturbación de los sistemas hamiltonianos . Heidelberg: Springer
- Zaslavsky, GM (2007). La física del caos en los sistemas hamiltonianos . Londres: Imperial College Press .
enlaces externos
- James Meiss (ed.). "Sistemas hamiltonianos" . Scholarpedia .