En matemáticas, la fórmula de Rodrigues (anteriormente llamada fórmula Ivory-Jacobi ) es una fórmula para los polinomios de Legendre introducidos independientemente por Olinde Rodrigues ( 1816 ), Sir James Ivory ( 1824 ) y Carl Gustav Jacobi ( 1827 ). El nombre "fórmula de Rodrigues" fue introducido por Heine en 1878, después de que Hermite señalara en 1865 que Rodrigues fue el primero en descubrirlo. El término también se usa para describir fórmulas similares para otros polinomios ortogonales . Askey (2005) describe en detalle la historia de la fórmula de Rodrigues.
Declaración
Dejar ser una secuencia de polinomios ortogonales que satisfacen la condición de ortogonalidad
dónde, es una función de peso adecuada, son constantes y es el delta de Kronecker. Si la función de peso satisface la siguiente ecuación diferencial (llamada ecuación diferencial de Pearson),
dónde es un polinomio con grado como máximo 1 y es un polinomio con grado como máximo 2 y, además, los límites
entonces, se puede demostrar que satisface una relación de recurrencia de la forma,
para algunas constantes . Esta relación se llama fórmula de tipo de Rodrigues , o simplemente fórmula de Rodrigues . [1]
Las aplicaciones más conocidas de las fórmulas tipográficas de Rodrigues son las fórmulas de los polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite:
Rodrigues declaró su fórmula para los polinomios de Legendre :
Los polinomios de Laguerre generalmente se denotan L 0 , L 1 , ..., y la fórmula de Rodrigues se puede escribir como
La fórmula de Rodrigues para el polinomio de Hermite se puede escribir como
- .
Fórmulas similares son válidas para muchas otras secuencias de funciones ortogonales que surgen de las ecuaciones de Sturm-Liouville , y estas también se denominan fórmula de Rodrigues (o fórmula de tipo de Rodrigues) para ese caso, especialmente cuando la secuencia resultante es polinomial.
Referencias
- ^ "Fórmula de Rodrigues - Enciclopedia de las matemáticas" . www.encyclopediaofmath.org . Consultado el 18 de abril de 2018 .
- Askey, Richard (2005), "El artículo de 1839 sobre permutaciones: su relación con la fórmula de Rodrigues y desarrollos posteriores" , en Altmann, Simón L .; Ortiz, Eduardo L. (eds.), Matemáticas y utopías sociales en Francia: Olinde Rodrigues y su época , Historia de las matemáticas, 28 , Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 105-118, ISBN 978-0-8218-3860-0
- Ivory, James (1824), "Sobre el requisito de la figura para mantener el equilibrio de una masa fluida homogénea que gira sobre un eje", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres , The Royal Society, 114 : 85-150, doi : 10.1098 /rstl.1824.0008 , JSTOR 107707
- Jacobi, CGJ (1827), "Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 - 2 xz + z 2 ) 1/2 entstehen". , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 2 : 223–226, doi : 10.1515 / crll.1827.2.223 , ISSN 0075-4102 , S2CID 120291793
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Olinde Rodrigues" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- Rodrigues, Olinde (1816), "De l'attraction des sphéroïdes" , Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique , (Tesis para la Facultad de Ciencias de la Universidad de París), 3 (3): 361–385