Un marco de referencia giratorio es un caso especial de un marco de referencia no inercial que gira con respecto a un marco de referencia inercial . Un ejemplo cotidiano de un sistema de referencia giratorio es la superficie de la Tierra . (Este artículo considera solo los fotogramas que giran alrededor de un eje fijo. Para obtener rotaciones más generales, consulte Ángulos de Euler ).
Fuerzas ficticias
Todos los sistemas de referencia no inerciales exhiben fuerzas ficticias ; Los marcos de referencia rotativos se caracterizan por tres: [1]
- la fuerza centrífuga ,
- la fuerza de Coriolis ,
y, para marcos de referencia de rotación no uniforme,
- la fuerza de Euler .
Los científicos en una caja giratoria pueden medir la velocidad y la dirección de su rotación midiendo estas fuerzas ficticias. Por ejemplo, Léon Foucault pudo mostrar la fuerza de Coriolis que resulta de la rotación de la Tierra utilizando el péndulo de Foucault . Si la Tierra girara muchas veces más rápido, los humanos podrían sentir estas fuerzas ficticias, como lo hacen cuando están en un carrusel giratorio .
Relacionar marcos giratorios con marcos estacionarios
La siguiente es una derivación de las fórmulas para aceleraciones y fuerzas ficticias en un marco giratorio. Comienza con la relación entre las coordenadas de una partícula en un marco giratorio y sus coordenadas en un marco inercial (estacionario). Luego, tomando derivadas de tiempo, se derivan fórmulas que relacionan la velocidad de la partícula como se ve en los dos cuadros, y la aceleración relativa a cada cuadro. Usando estas aceleraciones, las fuerzas ficticias se identifican comparando la segunda ley de Newton formulada en los dos marcos diferentes.
Relación entre posiciones en los dos fotogramas
Para derivar estas fuerzas ficticias, es útil poder convertir entre las coordenadas del marco de referencia giratorio y las coordenadas de un sistema de referencia inercial con el mismo origen. Si la rotación es sobre eleje con una velocidad angular constante , o , y los dos marcos de referencia coinciden en el momento , la transformación de coordenadas giratorias a coordenadas inerciales se puede escribir
mientras que la transformación inversa es
Este resultado se puede obtener de una matriz de rotación .
Introducir los vectores unitarios que representan vectores de base unitaria estándar en el marco giratorio. Las derivadas en el tiempo de estos vectores unitarios se encuentran a continuación. Suponga que los marcos están alineados en t = 0 y el eje z es el eje de rotación. Luego, para una rotación en sentido antihorario a través del ángulo Ωt :
donde los componentes ( x , y ) se expresan en el marco estacionario. Igualmente,
Por lo tanto, la derivada en el tiempo de estos vectores, que giran sin cambiar de magnitud, es
dónde . Este resultado es el mismo que se encuentra usando un producto cruzado vectorial con el vector de rotación apuntado a lo largo del eje z de rotación , a saber,
dónde es cualquiera o .
Derivadas de tiempo en los dos marcos
Introducir los vectores unitarios que representan vectores de base unitaria estándar en el marco giratorio. A medida que roten, permanecerán normalizados. Si los dejamos girar a la velocidad de sobre un eje luego cada vector unitario del sistema de coordenadas giratorias se rige por la siguiente ecuación:
Entonces, si tenemos una función vectorial ,
y queremos examinar su primera derivada que tenemos (usando la regla de diferenciación del producto ): [2] [3]
dónde es la tasa de cambio de como se observa en el sistema de coordenadas giratorio. En forma abreviada, la diferenciación se expresa como:
Este resultado también se conoce como el teorema del transporte en dinámica analítica y, a veces, también se denomina ecuación cinemática básica. [4]
Relación entre velocidades en los dos fotogramas
La velocidad de un objeto es la derivada del tiempo de la posición del objeto, o
La derivada temporal de una posición en un marco de referencia giratorio tiene dos componentes, uno de la dependencia explícita del tiempo debido al movimiento de la propia partícula, y otro de la propia rotación del marco. Aplicando el resultado del inciso anterior al desplazamiento, las velocidades en los dos marcos de referencia están relacionadas por la ecuación
donde el subíndice i significa el marco de referencia inercial y r significa el marco de referencia giratorio.
Relación entre aceleraciones en los dos fotogramas.
La aceleración es la segunda derivada temporal de la posición o la primera derivada temporal de la velocidad.
donde el subíndice i significa el marco de referencia inercial. Al realizar las diferenciaciones y reorganizar algunos términos se obtiene la aceleración relativa al marco de referencia giratorio ,
dónde es la aceleración aparente en el marco de referencia giratorio, el término representa la aceleración centrífuga , y el términoes la aceleración de Coriolis . El último término () es la aceleración de Euler y es cero en marcos que giran uniformemente.
Segunda ley de Newton en los dos marcos
Cuando la expresión de aceleración se multiplica por la masa de la partícula, los tres términos adicionales en el lado derecho dan como resultado fuerzas ficticias en el marco de referencia giratorio, es decir, fuerzas aparentes que resultan de estar en un marco de referencia no inercial. , en lugar de cualquier interacción física entre cuerpos.
Usando la segunda ley del movimiento de Newton , obtenemos: [1] [2] [3] [5] [6]
- y la fuerza de Euler
dónde es la masa del objeto sobre el que actúan estas fuerzas ficticias . Observe que las tres fuerzas desaparecen cuando el marco no gira, es decir, cuando
Para completar, la aceleración inercial debido a fuerzas externas impresas se puede determinar a partir de la fuerza física total en el marco inercial (no giratorio) (por ejemplo, fuerza de interacciones físicas como fuerzas electromagnéticas ) utilizando la segunda ley de Newton en el marco inercial:
La ley de Newton en el marco giratorio se convierte entonces en
En otras palabras, para manejar las leyes del movimiento en un marco de referencia giratorio: [6] [7] [8]
Trate las fuerzas ficticias como fuerzas reales y finja que está en un marco inercial.
- Louis N. Hand, Mecánica analítica de Janet D. Finch , pág. 267
Obviamente, un marco de referencia giratorio es un caso de marco no inercial. Así, la partícula, además de la fuerza real, es actuada por una fuerza ficticia ... La partícula se moverá de acuerdo con la segunda ley de movimiento de Newton si la fuerza total que actúa sobre ella se toma como la suma de las fuerzas real y ficticia.
- HS Hans & SP Pui: Mecánica ; pag. 341
Esta ecuación tiene exactamente la forma de la segunda ley de Newton, excepto que además de F , la suma de todas las fuerzas identificadas en el marco inercial, hay un término adicional a la derecha ... Esto significa que podemos continuar usando la segunda ley de Newton en el marco no inercial, siempre que estemos de acuerdo en que en el marco no inercial debemos agregar un término similar a una fuerza adicional, a menudo llamado fuerza inercial .
- John R. Taylor: Mecánica clásica ; pag. 328
Fuerza centrífuga
En la mecánica clásica , la fuerza centrífuga es una fuerza hacia afuera asociada con la rotación . La fuerza centrífuga es una de las llamadas pseudo-fuerzas (también conocidas como fuerzas de inercia ), llamadas así porque, a diferencia de las fuerzas reales , no se originan en interacciones con otros cuerpos situados en el entorno de la partícula sobre la que actúan. En cambio, la fuerza centrífuga se origina en la rotación del marco de referencia dentro del cual se realizan las observaciones. [9] [10] [11] [12] [13] [14]
efecto Coriolis
La expresión matemática de la fuerza de Coriolis apareció en un artículo de 1835 del científico francés Gaspard-Gustave Coriolis en relación con la hidrodinámica , y también en las ecuaciones de mareas de Pierre-Simon Laplace en 1778. A principios del siglo XX, comenzó el término fuerza de Coriolis. para ser utilizado en relación con la meteorología .
Quizás el sistema de referencia giratorio más común es la Tierra . Los objetos en movimiento en la superficie de la Tierra experimentan una fuerza de Coriolis y parecen virar hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el sur . Los movimientos de aire en la atmósfera y agua en el océano son ejemplos notables de este comportamiento: en lugar de fluir directamente desde áreas de alta presión a baja presión, como lo haría en un planeta no giratorio, los vientos y las corrientes tienden a fluir hacia la derecha. de esta dirección al norte del ecuador , ya la izquierda de esta dirección al sur del ecuador. Este efecto es responsable de la rotación de grandes ciclones (ver Efectos de Coriolis en meteorología ).
Fuerza de Euler
En la mecánica clásica , la aceleración de Euler (llamada así por Leonhard Euler ), también conocida como aceleración azimutal [15] o aceleración transversal [16], es una aceleración que aparece cuando se utiliza un marco de referencia que gira de manera no uniforme para el análisis del movimiento y hay variación en la velocidad angular del eje del marco de referencia . Este artículo está restringido a un marco de referencia que gira alrededor de un eje fijo.
La fuerza de Euler es una fuerza ficticia sobre un cuerpo que está relacionada con la aceleración de Euler por F = m a , donde a es la aceleración de Euler y m es la masa del cuerpo. [17] [18]
Uso en resonancia magnética
Es conveniente considerar la resonancia magnética en un marco que gira a la frecuencia de Larmor de los giros. Esto se ilustra en la siguiente animación. La aproximación de onda de rotación también se puede usar.
Ver también
- Rotación absoluta
- Fuerza centrífuga (marco de referencia giratorio) Fuerza centrífuga vista desde sistemas que giran alrededor de un eje fijo
- Mecánica del movimiento de partículas planar Fuerzas ficticias exhibidas por una partícula en movimiento planar tal como las ve la propia partícula y los observadores en un marco de referencia co-rotatorio
- Fuerza de Coriolis El efecto de la fuerza de Coriolis en la Tierra y otros sistemas rotativos.
- Marco de referencia inercial
- Marco no inercial
- Fuerza ficticia Un tratamiento más general del tema de este artículo.
Referencias
- ↑ a b Vladimir Igorević Arnolʹd (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2ª ed.). Saltador. pag. 130. ISBN 978-0-387-96890-2.
- ^ a b Cornelius Lanczos (1986). The Variational Principles of Mechanics (Reimpresión de la cuarta edición de 1970 ed.). Publicaciones de Dover . Capítulo 4, §5. ISBN 0-486-65067-7.
- ^ a b John R. Taylor (2005). Mecánica clásica . Libros universitarios de ciencia. pag. 342. ISBN 1-891389-22-X.
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- ^ LD Landau y LM Lifshitz (1976). Mecánica (Tercera ed.). pag. 128. ISBN 978-0-7506-2896-9.
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- ^ Robert Resnick y David Halliday (1966). Física . Wiley. pag. 121 . ISBN 0-471-34524-5.
- ^ Jerrold E. Marsden; Tudor S. Ratiu (1999). Introducción a la mecánica y la simetría: una exposición básica de los sistemas mecánicos clásicos . Saltador. pag. 251. ISBN 0-387-98643-X.
- ^ John Robert Taylor (2005). Mecánica clásica . Libros universitarios de ciencia. pag. 343. ISBN 1-891389-22-X.
- ^ Stephen T. Thornton y Jerry B. Marion (2004). "Capítulo 10". Dinámica clásica de partículas y sistemas (5ª ed.). Belmont CA: Brook / Cole. ISBN 0-534-40896-6. OCLC 52806908 .
- ^ David McNaughton. "Efectos centrífugos y Coriolis" . Consultado el 18 de mayo de 2008 .
- ^ David P. Stern. "Marcos de referencia: La fuerza centrífuga" . Consultado el 26 de octubre de 2008 .
- ^ David Morin (2008). Introducción a la mecánica clásica: con problemas y soluciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 469 . ISBN 978-0-521-87622-3.
Aceleración azimutal Morin.
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- ^ Richard H. Battin (1999). Una introducción a las matemáticas y los métodos de la astrodinámica . Reston, VA: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica . pag. 102. ISBN 1-56347-342-9.
- ^ Jerrold E. Marsden; Tudor S. Ratiu (1999). Introducción a la mecánica y la simetría: una exposición básica de los sistemas mecánicos clásicos . Saltador. pag. 251. ISBN 0-387-98643-X.
enlaces externos
- Clip de animación que muestra escenas vistas desde un marco inercial y un marco de referencia giratorio, visualizando el Coriolis y las fuerzas centrífugas.