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En la teoría de conjuntos diatónicos , la propiedad de Rothenberg es un concepto importante, carente de contradicción y ambigüedad, en la teoría general de escalas musicales que fue introducida por David Rothenberg en una serie fundamental de artículos en 1978. El concepto se descubrió de forma independiente en un contexto más restringido por Gerald Balzano , quien lo denominó coherencia .
"Rothenberg llama a una escala 'estrictamente adecuada' si posee un orden genérico, 'adecuada' si admite ambigüedades pero no contradicciones, e 'impropia' si admite contradicciones". [1] Una escala es estrictamente apropiada si todos los intervalos de dos pasos son mayores que cualquier intervalo de un paso, los intervalos de tres pasos son mayores que cualquier intervalo de dos pasos y así sucesivamente. Por ejemplo con la escala diatónica, los intervalos de un paso son el semitono (1) y el tono (2), los intervalos de dos pasos son el menor (3) y el mayor (4) tercero, los intervalos de tres pasos son el cuarto (5) y el tritono (6), los intervalos de cuatro pasos son el quinto (7) y el tritono (6), los intervalos de cinco pasos son el menor (8) y el mayor (9) sexto, y los intervalos de seis pasos son el menor (t) y el mayor (e) séptimo . Así que no es estrictamente correcta porque los tres intervalos de paso y los intervalos de cuatro pasos comparten un tamaño de intervalo (tritono), causando la ambigüedad ( "dos intervalos [específicas], que suenan igual, mapa en diferentes códigos [intervalos generales]" [2 ] ). Tal escala simplemente se llama "adecuada".
Por ejemplo, la escala pentatónica mayor es estrictamente adecuada:
| 1 | C | 2 | D | 2 | mi | 3 | GRAMO | 2 | A | 3 | C | |
| 2 | C | 4 | mi | 5 | A | 5 | D | 5 | GRAMO | 5 | C | |
| 3 | C | 7 | GRAMO | 7 | D | 7 | A | 7 | mi | 8 | C | |
| 4 | C | 9 | A | t | GRAMO | 9 | mi | t | D | t | C |
Las escalas pentatónicas que son propias, pero no estrictamente, son: [2]
- {0,1,4,6,8} ( acorde de Lidia )
- {0,2,4,6,8} ( escala de tono completo )
- {0,1,4,6,9} ( acorde gamma )
- {0,2,4,6,9} ( noveno acorde dominante )
- {0,1,3,6,9} ( acorde de novena menor dominante )
La única escala pentatónica estrictamente adecuada:
- {0,2,4,7,9} (pentatónico mayor)
Las escalas heptatónicas que son adecuadas, pero no estrictamente, son: [2]
- {0,1,3,4,6,8,9} ( escala menor armónica )
- {0,1,3,5,6,8, t} ( escala diatónica )
- {0,1,3,4,6,8, t} ( escala alterada )
- {0,1,2,4,6,8, t} ( escala napolitana mayor )
La propiedad también se puede considerar como escalas cuya estabilidad = 1, con estabilidad definida como "la relación entre el número de intervalos no ambiguos no dirigidos ... y el número total de intervalos no dirigidos", en cuyo caso la escala diatónica tiene una estabilidad de 20 ⁄ 21 . [2]
La escala de doce iguales es estrictamente adecuada, al igual que cualquier escala de temperamento igual, porque tiene solo un tamaño de intervalo para cada número de pasos. La mayoría de las escalas templadas también son adecuadas. Como otro ejemplo, el fragmento armónico otonal 5 ⁄ 4 , 6 ⁄ 4 , 7 ⁄ 4 , 8 ⁄ 4 es estrictamente apropiado, con los intervalos de un paso que varían en tamaño de 8 ⁄ 7 a 5 ⁄ 4 , los intervalos de dos pasos varían de 4 ⁄ 3 a 3 ⁄ 2 , intervalos de tres pasos de 8⁄ 5 a 7 ⁄ 4 .
Rothenberg plantea la hipótesis de que las escalas adecuadas proporcionan un punto o marco de referencia que ayuda a la percepción (" gestalt estable ") y que las contradicciones de escalas inadecuadas requieren un dron o ostinato para proporcionar un punto de referencia. [3]
Un ejemplo de una escala incorrecta es la escala japonesa Hirajōshi .
| 1 | C | 2 | D | 1 | E ♭ | 4 | GRAMO | 1 | A ♭ | 4 | C | ||
| 2 | C | 3 | E ♭ | 5 | A ♭ | 6 | D | 5 | GRAMO | 5 | C | ||
| 3 | C | 7 | GRAMO | 7 | D | 6 | A ♭ | 7 | E ♭ | 9 | C | ||
| 4 | C | 8 | A ♭ | mi | GRAMO | 8 | E ♭ | mi | D | t | C |
Sus pasos en semitonos son 2, 1, 4, 1, 4. Los intervalos de un solo paso varían desde el semitono de G a A ♭ hasta el tercio mayor de A ♭ a C. Los intervalos de dos pasos varían desde el tercio menor de C a E ♭ y el tritono, de A ♭ a D. Allí, el tercio menor como un intervalo de dos pasos es más pequeño que el tercio mayor que ocurre como un intervalo de un paso, creando una contradicción ("una contradicción ocurre ... cuando el orden de dos intervalos es lo opuesto al orden de sus correspondientes intervalos genéricos. " [2] ).
Definición matemática de propiedad [ editar ]
Rothenberg definió la propiedad en un contexto muy general; sin embargo, para casi todos los propósitos, basta con considerar lo que en contextos musicales a menudo se llama una escala periódica , aunque de hecho corresponden a lo que los matemáticos llaman una función cuasiperiódica . Estas son escalas que se repiten en un cierto intervalo fijo más alto cada nota en un cierto conjunto finito de notas. El intervalo fijo suele ser una octava , por lo que la escala consta de todas las notas que pertenecen a un número finito de clases de tonos . Si β i denota un elemento de escala para cada entero i, entonces β i + ℘ = β i + Ω , dondeΩ es típicamente una octava de 1200 centavos, aunque podría ser cualquier cantidad fija de centavos; y ℘ es el número de elementos de escala en el período Ω, que a veces se denomina tamaño de la escala.
Para cualquier i se puede considerar el conjunto de todas las diferencias por i pasos entre los elementos de escala clase ( i ) = { β n + i - β n }. De la manera habitual, podemos extender el orden de los elementos de un conjunto a los conjuntos mismos, diciendo A < B si y solo si para cada a ∈ A y b ∈ B tenemos a < b . Entonces una escala es estrictamente apropiada si i < j implica clase ( i ) <clase (j ). Es apropiado si i ≤ j implica clase ( i ) ≤ clase ( j ). La propiedad estricta implica propiedad, pero una escala adecuada no tiene por qué ser estrictamente adecuada; un ejemplo es la escala diatónica en temperamento igual , donde el intervalo de tritono pertenece tanto a la clase de la cuarta (como una cuarta aumentada ) como a la clase de la quinta (como una quinta disminuida ). La propiedad estricta es lo mismo que la coherencia en el sentido de Balzano.
Intervalos genéricos y específicos [ editar ]
La clase de intervalo clase (i) módulo Ω depende solo de i módulo ℘, por lo tanto, también podemos definir una versión de clase, Clase ( i ), para clases de tono módulo Ω , que se denominan intervalos genéricos . Las clases de tono específicas que pertenecen a la Clase (i) se denominan intervalos específicos . La clase del unísono , Clase (0), consta únicamente de múltiplos de Ω y generalmente se excluye de la consideración, por lo que el número de intervalos genéricos es ℘ - 1. Por lo tanto, los intervalos genéricos se numeran de 1 a ℘ - 1, y una escala es apropiada si para dos intervalos genéricos cualesquiera i < j implica clase (i ) <clase ( j ). Si representamos los elementos de la Clase ( i ) por intervalos reducidos a aquellos entre el unísono y Ω, podemos ordenarlos como de costumbre, y así definir la propiedad al afirmar que i < j para clases genéricas implica Clase ( i ) <Clase ( j ). Este procedimiento, aunque mucho más complicado que la definición tal como se dijo originalmente, es la forma en que normalmente se aborda el asunto en la teoría de conjuntos diatónicos .
Considere la escala diatónica (mayor) en el temperamento común de 12 tonos iguales, que sigue el patrón (en semitonos) 2-2-1-2-2-2-1. Ningún intervalo en esta escala, que abarca un número determinado de pasos de escala, es más estrecho (que consta de menos semitonos) que un intervalo que abarca menos pasos de escala. Por ejemplo, no se puede encontrar un cuarto en esta escala que sea menor que un tercio: los cuartos más pequeños tienen cinco semitonos de ancho y los tercios más grandes son cuatro semitonos. Por tanto, la escala diatónica es la adecuada. Sin embargo, hay un intervalo que contiene el mismo número de semitonos que un intervalo que abarca menos grados de escala: el cuarto aumentado (FGAB) y el quinto disminuido (BCDEF) tienen seis semitonos de ancho. Por lo tanto, la escala diatónica es adecuada pero no estrictamente adecuada.
Por otro lado, considere la escala enigmática , que sigue el patrón 1-3-2-2-2-1-1. Es posible encontrar intervalos en esta escala que son más estrechos que otros intervalos en la escala que abarcan menos pasos de escala: por ejemplo, el cuarto construido en el sexto escalón de la escala tiene tres semitonos de ancho, mientras que el tercero construido en el segundo escalón de la escala tiene cinco semitonos de ancho. Por tanto, la escala enigmática no es la adecuada.
Teoría de la escala diatónica [ editar ]
Balzano introdujo la idea de intentar caracterizar la escala diatónica en términos de propiedad. No hay escalas de siete notas estrictamente adecuadas en 12 temperamentos iguales ; sin embargo, no son cinco escalas apropiadas, uno de los cuales es la escala diatónica. Aquí la transposición y los modos no se cuentan por separado, por lo que la escala diatónica abarca tanto la escala diatónica mayor como la escala menor natural que comienza con cualquier tono. Cada una de estas escalas, si se escribe correctamente, tiene una versión en cualquier tono medio , y cuando la quinta es más plana que 700 centavos, todos se vuelven estrictamente adecuados. En particular, cinco de las siete escalas de siete notas estrictamente adecuadas en 19 temperamentos iguales son una de estas escalas. Las cinco escalas son:
- Diatónico : CDEFGAB
- Menor melódico / ascendente / menor de jazz : CDE ♭ FGAB
- Armónica menor : CDE ♭ FGA ♭ B
- Mayor armónico : CDEFGA ♭ B
- Locriano mayor : CDEFG ♭ A ♭ B ♭
En cualquier sistema de medios con quintos más planos que 700 cents, uno también tiene la siguiente escala estrictamente adecuada: CD ♭ EF ♭ GA ♭ B ♭ .
La diatónica, la menor ascendente, la menor armónica, la mayor armónica y esta última escala sin nombre contienen círculos completos de tres tercios mayores y cuatro menores, dispuestos de diversas formas. La escala locriana mayor tiene un círculo de cuatro tercios mayores y dos tercios menores, junto con un tercio disminuido , que en el temperamento septimal meanone se aproxima a un segundo mayor septimal de proporción 8 ⁄ 7 . Las otras escalas son todas las escalas con un círculo completo de tres tercios mayores y cuatro menores, que desde ( 5 ⁄ 4 ) 3 ( 6 ⁄ 5 ) 4 = 81 ⁄ 20, templado a dos octavas en medio, es indicativo de medio.
Las primeras tres escalas son de importancia básica para la práctica musical común , y la escala armónica mayor que se usa a menudo, y el hecho de que la escala diatónica no se destaque por la propiedad es quizás menos interesante [¿ según quién? ] que eso son todas las escalas de la columna vertebral de la práctica diatónica.
Ver también [ editar ]
- Propiedad de escala profunda
Notas [ editar ]
Referencias [ editar ]
- ^ Carey, Norman (1998). Distribución Módulo Uno y Escalas Musicales , p.103, n.19. Universidad de Rochester. Doctor. disertación.
- ↑ a b c d e Meredith, D. (2011). "Escalas tonales y ciclos de clase de tono mínimo simple", Matemáticas y Computación en Música: Tercera Conferencia Internacional , p.174. Saltador. ISBN 9783642215896
- ^ (1986). 1/1: The Quarterly Journal of the Just Intonation Network, Volumen 2 , p.28. Red de entonación justa.
Lectura adicional [ editar ]
- Gerald J. Balzano, The Group-Theoretic Description of 12-fold and Microtonal Pitch Systems , Computer Music Journal 4/4 (1980) 66–84
- Gerald J. Balzano, The Pitch Set as a Level of Description for Study Musical Pitch Perception , in Music, Mind, and Brain, Manfred Clynes, ed., Plenum Press, 1982
- David Rothenberg, Un modelo para la percepción de patrones con aplicaciones musicales Parte I: Estructuras de tono como mapas que preservan el orden , Teoría de sistemas matemáticos 11 (1978) 199-234 [1]
