En álgebra lineal , dos matrices son equivalentes en filas si una se puede cambiar a la otra mediante una secuencia de operaciones elementales de filas . Alternativamente, dos matrices m × n son equivalentes en filas si y solo si tienen el mismo espacio de filas . El concepto se aplica más comúnmente a matrices que representan sistemas de ecuaciones lineales , en cuyo caso dos matrices del mismo tamaño son equivalentes en filas si y solo si los sistemas homogéneos correspondientes tienen el mismo conjunto de soluciones, o de manera equivalente las matrices tienen el mismo nulo. espacio .
Debido a que las operaciones de fila elementales son reversibles, la equivalencia de fila es una relación de equivalencia . Normalmente se denota con una tilde (~). [ cita requerida ]
Existe una noción similar de equivalencia de columna , definida por operaciones de columna elementales; dos matrices son equivalentes en columnas si y solo si sus matrices de transposición son equivalentes en filas. Dos matrices rectangulares que se pueden convertir una en otra permitiendo operaciones de fila y columna elementales se denominan simplemente equivalentes .
Operaciones de fila elementales
Una operación de fila elemental es cualquiera de los siguientes movimientos:
- Intercambiar: intercambia dos filas de una matriz.
- Escala: multiplique una fila de una matriz por una constante distinta de cero.
- Pivote: agregue un múltiplo de una fila de una matriz a otra fila.
Dos matrices A y B son equivalentes por filas si es posible transformar A en B mediante una secuencia de operaciones elementales de filas.
Espacio de fila
El espacio de filas de una matriz es el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de sus vectores de filas. Si las filas de la matriz representan un sistema de ecuaciones lineales , entonces el espacio de filas consta de todas las ecuaciones lineales que se pueden deducir algebraicamente de las del sistema. Dos matrices m × n son equivalentes en filas si y solo si tienen el mismo espacio de filas.
Por ejemplo, las matrices
son filas equivalentes, siendo el espacio de filas todos los vectores de la forma . Los sistemas correspondientes de ecuaciones homogéneas transmiten la misma información:
En particular, ambos sistemas implican cada ecuación de la forma
Equivalencia de las definiciones
El hecho de que dos matrices sean equivalentes por filas si y solo si tienen el mismo espacio de filas es un teorema importante en álgebra lineal. La prueba se basa en las siguientes observaciones:
- Las operaciones de fila elementales no afectan el espacio de fila de una matriz. En particular, cualesquiera matrices equivalentes de dos filas tienen el mismo espacio de filas.
- Cualquier matriz puede reducirse mediante operaciones de fila elementales a una matriz en forma escalonada de fila reducida .
- Dos matrices en forma escalonada de filas reducida tienen el mismo espacio de filas si y solo si son iguales.
Esta línea de razonamiento también demuestra que cada matriz es equivalente por filas a una matriz única con forma escalonada de filas reducida.
Propiedades adicionales
- Debido a que el espacio nulo de una matriz es el complemento ortogonal del espacio de filas , dos matrices son equivalentes de filas si y solo si tienen el mismo espacio nulo.
- El rango de una matriz es igual a la dimensión del espacio de filas, por lo que las matrices equivalentes de filas deben tener el mismo rango. Esto es igual al número de pivotes en la forma escalonada de fila reducida.
- Una matriz es invertible si y solo si es equivalente en filas a la matriz identidad .
- Las matrices A y B son equivalentes en filas si y solo si existe una matriz P invertible tal que A = PB . [1]
Ver también
Referencias
- ^ Roman 2008 , p. 9, ejemplo 0.3
- Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
- Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3a ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
- Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis de matrices y álgebra lineal aplicada , Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archivado desde el original el 1 de marzo de 2001
- Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2a ed.), Brooks / Cole, ISBN 0-534-99845-3
- Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9a ed.), Wiley International
- Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7a ed.), Pearson Prentice Hall
- Roman, Steven (2008). Álgebra lineal avanzada . Textos de Posgrado en Matemáticas . 135 (3ª ed.). Springer Science + Business Media, LLC. ISBN 978-0-387-72828-5.