En álgebra lineal , dos matrices rectangulares de m- por- n A y B se llaman equivalentes si
para alguna matriz P invertible n- por- n y alguna matriz Q invertible m- por- m . Las matrices equivalentes representan la misma transformación lineal V → W bajo dos elecciones diferentes de un par de bases de V y W , siendo P y Q el cambio de matrices de base en V y W respectivamente.
La noción de equivalencia no debe confundirse con la de similitud , que solo se define para matrices cuadradas y es mucho más restrictiva (las matrices similares son ciertamente equivalentes, pero las matrices cuadradas equivalentes no tienen por qué serlo). Esa noción corresponde a matrices que representan el mismo endomorfismo V → V bajo dos elecciones diferentes de una sola base de V , utilizadas tanto para los vectores iniciales como para sus imágenes.
Propiedades
La equivalencia de matrices es una relación de equivalencia en el espacio de matrices rectangulares.
Para dos matrices rectangulares del mismo tamaño, su equivalencia también se puede caracterizar por las siguientes condiciones
- Las matrices se pueden transformar entre sí mediante una combinación de operaciones elementales de filas y columnas .
- Dos matrices son equivalentes si y solo si tienen el mismo rango .
Forma canónica
La propiedad de rango produce una forma canónica intuitiva para matrices de la clase de equivalencia de rango. como
,
donde el numero de s en la diagonal es igual a . Este es un caso especial de la forma normal de Smith , que generaliza este concepto en espacios vectoriales para liberar módulos sobre dominios ideales principales .