Multiplicación cruzada

No confundir con el producto Cross .

En matemáticas , específicamente en aritmética elemental y álgebra elemental , dada una ecuación entre dos fracciones o expresiones racionales , se puede realizar una multiplicación cruzada para simplificar la ecuación o determinar el valor de una variable.

El método también se conoce ocasionalmente como el método de "cruzar el corazón" porque se pueden dibujar líneas que se asemejan al contorno de un corazón para recordar qué cosas se deben multiplicar.

Dada una ecuación como

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

donde b y d son no cero, uno puede cruzar-Multiply para obtener

${\displaystyle ad=bc\quad {\text{or}}\quad a={\frac {bc}{d}}.}$

En geometría euclidiana, el mismo cálculo se puede lograr considerando las proporciones como las de triángulos similares .

Procedimiento

En la práctica, el método de multiplicación cruzada significa que multiplicamos el numerador de cada (o uno) lado por el denominador del otro lado, cruzando efectivamente los términos:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}},\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.}$

La justificación matemática del método proviene del siguiente procedimiento matemático más extenso. Si comenzamos con la ecuación básica

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

podemos multiplicar los términos de cada lado por el mismo número y los términos seguirán siendo iguales. Por lo tanto, si multiplicamos la fracción de cada lado por el producto de los denominadores de ambos lados, bd, obtenemos

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.}$

Podemos reducir las fracciones a los términos más bajos notando que las dos apariciones de b en el lado izquierdo se cancelan, al igual que las dos apariciones de d en el lado derecho, dejando

${\displaystyle ad=bc,}$

y podemos dividir ambos lados de la ecuación por cualquiera de los elementos, en este caso usaremos d, obteniendo

${\displaystyle a={\frac {bc}{d}}.}$

Otra justificación de la multiplicación cruzada es la siguiente. Comenzando con la ecuación dada

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

multiplicar por d / d = 1 a la izquierda y por b / b = 1 a la derecha, obteniendo

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}},}$

y entonces

${\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.}$

Cancelar el denominador común bd = db , dejando

${\displaystyle ad=cb.}$

Cada paso de estos procedimientos se basa en una única propiedad fundamental de las ecuaciones . La multiplicación cruzada es un atajo, un procedimiento fácilmente comprensible que se puede enseñar a los estudiantes.

Utilizar

Este es un procedimiento común en matemáticas, que se usa para reducir fracciones o calcular un valor para una variable dada en una fracción. Si tenemos una ecuación

${\displaystyle {\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}},}$

donde x es una variable que nos interesa resolver, podemos usar la multiplicación cruzada para determinar que

${\displaystyle x={\frac {bc}{d}}.}$

Por ejemplo, supongamos que queremos saber qué distancia recorrerá un automóvil en 7 horas, si sabemos que su velocidad es constante y que ya viajó 90 millas en las últimas 3 horas. Al convertir el problema verbal en proporciones, obtenemos

${\displaystyle {\frac {x}{7\ {\text{hours}}}}={\frac {90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}}.}$

Rendimientos de multiplicación cruzada

${\displaystyle x={\frac {7\ {\text{hours}}\times 90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}},}$

y entonces

${\displaystyle x=210\ {\text{miles}}.}$

Tenga en cuenta que incluso ecuaciones simples como

${\displaystyle a={\frac {x}{d}}}$

se resuelven mediante multiplicación cruzada, ya que el término b faltante es implícitamente igual a 1:

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.}$

Cualquier ecuación que contenga fracciones o expresiones racionales se puede simplificar multiplicando ambos lados por el mínimo denominador común . Este paso se llama eliminación de fracciones .

Regla de tres

La regla de tres ^[1] era una versión histórica abreviada de una forma particular de multiplicación cruzada que se podía enseñar a los estudiantes de memoria. Se consideró el apogeo de la educación matemática colonial ^[2] y todavía figura en el plan de estudios nacional francés para la educación secundaria. ^[3]

Para una ecuación de la forma

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}},}$

donde la variable a evaluar está en el denominador de la derecha, la regla de tres establece que

${\displaystyle x={\frac {bc}{a}}.}$

En este contexto, a se denomina el extremo de la proporción, y b y c se denominan medias .

Esta regla ya era conocida por los matemáticos chinos antes del siglo II d. C., ^[4] aunque no se usó en Europa hasta mucho después.

La regla de tres ganó notoriedad ^{[ cita requerida ]} por ser particularmente difícil de explicar. Arithmetick de Cocker , el principal libro de texto del siglo XVII, introduce su discusión sobre la regla de tres ^[5] con el problema "Si 4 yardas de tela cuestan 12 chelines, ¿cuánto costarán 6 yardas a esa tasa?" La regla de tres da la respuesta a este problema directamente; mientras que en aritmética moderna, lo resolveríamos introduciendo una variable x para representar el costo de 6 yardas de tela, escribiendo la ecuación

${\displaystyle {\frac {4\ {\text{yards}}}{12\ {\text{shillings}}}}={\frac {6\ {\text{yards}}}{x}}}$

y luego usando la multiplicación cruzada para calcular x :

${\displaystyle x={\frac {12\ {\text{shillings}}\times 6\ {\text{yards}}}{4\ {\text{yards}}}}=18\ {\text{shillings}}.}$

Un manuscrito anónimo de 1570 ^[6] decía: "La multiplicación es un fastidio, / La división es tan mala; / La regla de tres me desconcierta, / Y la práctica me vuelve loco".

Doble regla de tres

Una extensión de la regla de tres fue la regla doble de tres , que implicaba encontrar un valor desconocido donde se conocen cinco en lugar de otros tres valores.

Un ejemplo de tal problema podría ser: Si 6 constructores pueden construir 8 casas en 100 días, ¿cuántos días tomarían 10 constructores para construir 20 casas al mismo ritmo? , y esto se puede configurar como

${\displaystyle {\frac {\frac {8\ {\text{houses}}}{100\ {\text{days}}}}{6\ {\text{builders}}}}={\frac {\frac {20\ {\text{houses}}}{x}}{10\ {\text{builders}}}},}$

que, con la multiplicación cruzada dos veces, da

${\displaystyle x={\frac {20\ {\text{houses}}\times 100\ {\text{days}}\times 6\ {\text{builders}}}{8\ {\text{houses}}\times 10\ {\text{builders}}}}=150\ {\text{days}}.}$

La canción de Lewis Carroll " The Mad Gardener's Song " incluye las líneas "Creyó ver una puerta de jardín / Que se abrió con una llave: / Miró de nuevo y descubrió que era / Una doble regla de tres". ^[7]

Ver también

• Razón cruzada
• Razón de probabilidades

Referencias

1. Esto a veces también se conoce como la regla de oro , aunque ese uso es raro en comparación con otros usos de la regla de oro . Véase E. Cobham Brewer (1898). "Regla de oro" . Diccionario de frase y fábula de Brewer . Filadelfia: Henry Altemus.
2. Ubiratan D'Ambrósio; Joseph W. Dauben; Karen Hunger Parshall (2014). "Educación matemática en América en el período premoderno". En Alexander Karp; Gert Schubring (eds.). Manual de Historia de la Educación Matemática . Springer Science. pag. 177. ISBN 978-1-4614-9155-2.
3. "Socle de connaissances, pilier 3" . Ministerio de Educación francés. 30 de diciembre de 2012 . Consultado el 24 de septiembre de 2015 .
4. Shen Kangshen; John N. Crossley; Anthony W.-C. Lun (1999). Los nueve capítulos sobre el arte matemático: compañero y comentario . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford.
5. Edward Cocker (1702). Arithmetick de Cocker . Londres: John Hawkins. pag. 103 .
6. Diccionario de citas de Oxford conciso, 1964.
7. Sylvie y Bruno , Capítulo 12.

Otras lecturas

• Brian Burell: Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference . Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213 , págs. 85-101 
• 'Dr. Math', regla de tres
• 'Dr. Math', Abraham Lincoln y la regla de tres
• Sistema de aritmética abreviado de Pike: diseñado para facilitar el estudio de la ciencia de los números, comprendiendo las reglas más claras y precisas, ilustradas con ejemplos útiles: a los que se añaden preguntas apropiadas, para el examen de los académicos, y un breve sistema de libros. acuerdo. , 1827 - facsímil de la sección correspondiente
• La regla de tres aplicada por Miguel de Rodas en el siglo XV.
• La regla de tres en Mother Goose
• Rudyard Kipling: Puedes resolverlo por fracciones o por una simple regla de tres, pero la forma de Tweedle-dum no es la forma de Tweedle-dee.

enlaces externos

• Medios relacionados con la multiplicación cruzada en Wikimedia Commons