La geometría de Ruppeiner es geometría termodinámica (un tipo de geometría de la información ) que utiliza el lenguaje de la geometría de Riemann para estudiar la termodinámica . George Ruppeiner lo propuso en 1979. Afirmó que los sistemas termodinámicos pueden ser representados por la geometría de Riemann y que las propiedades estadísticas pueden derivarse del modelo.
Este modelo geométrico se basa en la inclusión de la teoría de las fluctuaciones en los axiomas de la termodinámica del equilibrio , es decir, existen estados de equilibrio que pueden ser representados por puntos en una superficie bidimensional (variedad) y la distancia entre estos estados de equilibrio está relacionada con la fluctuación entre ellos. Este concepto está asociado a probabilidades, es decir, cuanto menos probable es una fluctuación entre estados, más alejados están. Esto se puede reconocer si se considera el tensor métrico g ij en la fórmula de distancia (elemento de línea) entre los dos estados de equilibrio
donde la matriz de coeficientes g ij es el tensor métrico simétrico que se llama métrica de Ruppeiner , definida como un hessiano negativo de la función de entropía
donde U es la energía interna (masa) del sistema y N a se refiere a los parámetros extensos del sistema. Matemáticamente, la geometría de Ruppeiner es un tipo particular de geometría de información y es similar a la métrica de Fisher-Rao utilizada en estadística matemática.
La métrica de Ruppeiner puede entenderse como el límite termodinámico (límite de sistemas grandes) de la métrica de información más general de Fisher . [1] Para sistemas pequeños (sistemas donde las fluctuaciones son grandes), la métrica de Ruppeiner puede no existir, ya que no se garantiza que las segundas derivadas de la entropía sean no negativas.
La métrica de Ruppeiner está relacionada de manera conforme con la métrica de Weinhold a través de
donde T es la temperatura del sistema considerado. La prueba de la relación conforme se puede hacer fácilmente cuando se escribe la primera ley de la termodinámica (dU = TdS + ...) en forma diferencial con algunas manipulaciones. La geometría de Weinhold también se considera una geometría termodinámica. Se define como un hessiano de la energía interna con respecto a la entropía y otros parámetros extensivos.
Durante mucho tiempo se ha observado que la métrica de Ruppeiner es plana para sistemas con una mecánica estadística subyacente que no interactúa, como el gas ideal. Las singularidades de curvatura señalan comportamientos críticos. Además, se ha aplicado a varios sistemas estadísticos, incluido el gas Van de Waals . Recientemente, se ha estudiado el gas anyon utilizando este enfoque.
Aplicación a los sistemas de agujeros negros
En los últimos cinco años aproximadamente, esta geometría se ha aplicado a la termodinámica de los agujeros negros , con algunos resultados físicamente relevantes. El caso físicamente más significativo es el del agujero negro de Kerr en dimensiones más altas, donde la singularidad de la curvatura indica inestabilidad termodinámica, como se encontró anteriormente con métodos convencionales.
La entropía de un agujero negro viene dada por la conocida fórmula de Bekenstein-Hawking
dónde es la constante de Boltzmann ,la velocidad de la luz , Constante de Newton yes el área del horizonte de sucesos del agujero negro. Calcular la geometría Ruppeiner de la entropía del agujero negro es, en principio, sencillo, pero es importante que la entropía se escriba en términos de parámetros extensos,
dónde es la masa ADM del agujero negro y son los cargos conservados y va de 1 a n. La firma de la métrica refleja el signo del calor específico del agujero . Para un agujero negro Reissner-Nordström , la métrica de Ruppeiner tiene una firma de Lorentz que corresponde a la capacidad térmica negativa que posee, mientras que para el agujero negro BTZ , tenemos una firma euclidiana . Este cálculo no se puede hacer para el agujero negro de Schwarzschild, porque su entropía es
lo que hace que la métrica se degenere.
Referencias
- ^ Ladrones, Gavin E. (2007). "Medición de la longitud termodinámica". Phys. Rev. Lett . 99 : 100602. arXiv : 0706.0559 . Código bibliográfico : 2007PhRvL..99j0602C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.99.100602 .
- Ruppeiner, George (1995). "Geometría de Riemann en la teoría de la fluctuación termodinámica". Reseñas de Física Moderna . 67 (3): 605–659. Código Bibliográfico : 1995RvMP ... 67..605R . doi : 10.1103 / RevModPhys.67.605 ..
- Åman, John E .; Bengtsson, Ingemar; Pidokrajt, Narit; Ward, John (2008). "Geometrías termodinámicas de agujeros negros". La undécima reunión de Marcel Grossmann . págs. 1511-1513. doi : 10.1142 / 9789812834300_0182 .