S transforma

La transformada S como distribución de frecuencia y tiempo se desarrolló en 1994 para analizar datos geofísicos. ^{[1] [2]} De esta manera, latransformada S es una generalización de la transformada de Fourier de corta duración (STFT), extendiendo la transformada de ondas continuas y superando algunas de sus desventajas. Por un lado, las sinusoides de modulación se fijan con respecto al eje del tiempo; esto localiza las dilataciones y traslaciones escalables de la ventana gaussiana en latransformada S. Además, latransformada S no tiene un problema de términos cruzados y produce una mejor claridad de señal que la transformada de Gabor . Sin embargo, la Stransform tiene sus propias desventajas: la claridad es peor que la función de distribución de Wigner y la función de distribución de clases de Cohen . ^{[ cita requerida ]}

Un rápido algoritmo de transformación S se inventó en 2010. ^{[3] [4]} Reduce la complejidad computacional de O [N ² · log (N)] a O [N · log (N)] y hace que la transformación sea uno a uno, donde la transformada tiene el mismo número de puntos que la señal o imagen fuente, en comparación con la complejidad de almacenamiento de N ² para la formulación original. ^{[4] [5]} Una implementación está disponible para la comunidad de investigación bajo una licencia de código abierto . ^[6]

Una formulación general de la transformada S ^[4] aclara la relación con otras transformadas de frecuencia de tiempo, como las transformadas de Fourier, Fourier de corta duración y ondícula. ^[4]

Definición

Hay varias formas de representar la idea de la transformada S. Aquí, la transformada S se deriva como la corrección de fase de la transformada de ondícula continua, siendo la ventana la función gaussiana .

• Transformación S

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )|f|e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }$

• Transformada S inversa

${\displaystyle x(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\,dt\right]\,e^{j2\pi f\tau }\,df}$

Formulario modificado

• Forma de espectro

La definición anterior implica que la función de transformación s puede expresarse como la convolución de ${\displaystyle (x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })}$ y ${\displaystyle (|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})}$.
Aplicar la transformada de Fourier a ambos${\displaystyle (x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })}$ y ${\displaystyle (|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})}$ da

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\alpha )\,e^{-\pi \alpha ^{2}/f^{2}}\,e^{j2\pi \alpha t}\,d\alpha }$.

• Transformada S de tiempo discreto

A partir de la forma de espectro de la transformada S, podemos derivar la transformada S de tiempo discreto.
Dejar${\displaystyle t=n\Delta _{T}\,\,f=m\Delta _{F}\,\,\alpha =p\Delta _{F}}$, donde ${\displaystyle \Delta _{T}}$ es el intervalo de muestreo y ${\displaystyle \Delta _{F}}$es la frecuencia de muestreo.
La transformada S de tiempo discreto se puede expresar como:

${\displaystyle S_{x}(n\Delta _{T}\,,m\Delta _{F})=\sum _{p=0}^{N-1}X[(p+m)\,\Delta _{F}]\,e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}\,e^{\frac {j2pn}{N}}}$

Implementación de la transformación S de tiempo discreto

A continuación se muestra el pseudocódigo de la implementación.

 Paso 1.Calcular ${\displaystyle X[p\Delta _{F}]\,}$ 
 lazo{ Paso 2.Calcular${\displaystyle e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}$por ${\displaystyle f=m\Delta _{F}}$
 Step3.Move ${\displaystyle X[p\Delta _{F}]}$para${\displaystyle X[(p+m)\Delta _{F}]}$
 Step4.Multiply Step2 y Step3 ${\displaystyle B[m,p]=X[(p+m)\Delta _{F}]\cdot e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}$
 Paso 5.IDFT (${\displaystyle B[m,p]}$). Repetir.}

Comparación con otras herramientas de análisis de frecuencia de tiempo

Comparación con la Transformada de Gabor

La única diferencia entre Gabor Transform (GT) y S Transform es el tamaño de la ventana. Para GT, el tamaño de la ventana es una función gaussiana${\displaystyle (e^{-\pi (t-\tau )^{2}})}$, mientras tanto, la función de ventana para S-Transform es una función de f. Con una función de ventana proporcional a la frecuencia, S Transform funciona bien en el análisis del dominio de la frecuencia cuando la frecuencia de entrada es baja. Cuando la frecuencia de entrada es alta, S-Transform tiene una mayor claridad en el dominio del tiempo. Como se muestra en la siguiente tabla.

Baja frecuencia	Mala claridad en el dominio del tiempo	Buena claridad en el dominio de la frecuencia
Alta frecuencia	Mala claridad en el dominio de la frecuencia	Buena claridad en el dominio del tiempo

Este tipo de propiedad hace que S-Transform sea una herramienta poderosa para analizar el sonido porque el ser humano es sensible a las partes de baja frecuencia en una señal de sonido.

Comparación con Wigner Transform

El principal problema con Wigner Transform es el término cruzado, que se deriva de la función de autocorrelación en la función Wigner Transform. Este término cruzado puede causar ruido y distorsiones en los análisis de señales. Los análisis de transformación S evitan este problema.

Comparación con la transformada de Fourier de corta duración

Podemos comparar la transformada S y la transformada de Fourier de corta duración (STFT). ^{[2] [7]}Primero, en el experimento se utilizan una señal de alta frecuencia, una señal de baja frecuencia y una señal de ráfaga de alta frecuencia para comparar el rendimiento. La característica de transformada S de resolución dependiente de la frecuencia permite la detección de la ráfaga de alta frecuencia. Por otro lado, como el STFT consta de un ancho de ventana constante, el resultado tiene una definición más pobre. En el segundo experimento, se agregan dos ráfagas de alta frecuencia más a los chirridos cruzados. En el resultado, las cuatro frecuencias fueron detectadas por la transformada S. Por otro lado, STFT no detecta las dos ráfagas de altas frecuencias. Las ráfagas de alta frecuencia entre términos causaron que STFT tuviera una sola frecuencia a una frecuencia más baja.

Aplicaciones

• Filtros de señales ^[8]
• Imágenes por resonancia magnética (IRM) ^[9]
• Reconocimiento de perturbaciones del sistema de energía
  • Se ha demostrado que la transformada S puede identificar algunos tipos de perturbaciones, como caída de voltaje, aumento de voltaje, interrupción momentánea y transitorios oscilatorios. ^[10]
  • La transformada S también se puede aplicar para otros tipos de perturbaciones como muescas, armónicos con pandeo y oleaje, etc.
  • S transform genera contornos que son adecuados para una simple inspección visual. Sin embargo, la transformada de ondículas requiere herramientas específicas como el análisis multirresolución estándar .
• Análisis de señales geofísicas
  • Sismología de reflexión
  • Sismología global

Ver también

• Transformada de Laplace
• Transformada wavelet
• Transformada de Fourier de corta duración

Referencias

1. Stockwell, RG; Mansinha, L; Lowe, RP (1996). "Localización del espectro complejo: la transformada S". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 44 (4): 998–1001. CiteSeerX  10.1.1.462.1500 . doi : 10.1109 / 78.492555 .
2. Stockwell, RG (1999). S -transform análisis de la actividad de ondas de gravedad de una red a pequeña escala de generadores de imágenes Airglow. Tesis de doctorado, Universidad de Western Ontario, London, Ontario, Canadá.
3. Brown, RA; Frayne, R (2008). Una rápida transformada en S discreta para el procesamiento de señales biomédicas . Conf Proc IEEE Eng Med Biol Soc . 2008 . págs. 2586–9. doi : 10.1109 / IEMBS.2008.4649729 . ISBN 978-1-4244-1814-5. PMID  19163232 .
4. Brown, Robert A .; Lauzon, M. Louis; Frayne, Richard (enero de 2010). "Una descripción general de las transformadas lineales de tiempo-frecuencia y la formulación de una transformada rápida e invertible que muestrea el espectro de la transformada S continua de forma no redundante". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 58 (1): 281–290. doi : 10.1109 / tsp.2009.2028972 . ISSN 1053-587X . 
5. Kelly Sansom, "Fast S Transform", Universidad de Calgary, https://www.ucalgary.ca/news/utoday/may31-2011/computing
6. http://sourceforge.net/projects/fst-uofc/
7. E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, "Representación de características de frecuencia de tiempo utilizando concentración de energía: una visión general de los avances recientes", Procesamiento de señales digitales , vol. 19, no. 1, págs.153-183, enero de 2009.
8. Ditommaso, R, Mucciarelli M, Ponzo FC (2012). ANÁLISIS DE SISTEMAS ESTRUCTURALES NO ESTACIONARIOS UTILIZANDO UN FILTRO VARIABLE DE BANDA. Boletín de Ingeniería Sísmica . doi : 10.1007 / s10518-012-9338-y . Consulte también el archivo MATLAB
9. Hongmei Zhu y J. Ross Mitchell, "La transformación S en imágenes médicas", Centro médico de Foothills de la Universidad de Calgary Seaman Family MR Research Center, Canadá.
10. Prakash K. Ray, et al. "Determinación de la coherencia en un sistema híbrido basado en generación distribuida conectado a la red en escenarios de isla". Power and Energy (PECon), Conferencia Internacional IEEE 2010 sobre. IEEE, 2010, doi : 10.1109 / PECON.2010.5697562

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• Rocco Ditommaso, Marco Mucciarelli, Felice C. Ponzo (2010). Filtro basado en S-Transform aplicado al análisis del comportamiento dinámico no lineal de suelos y edificios. XIV Congreso Europeo de Ingeniería Sísmica. Volumen de las actas. Ohrid, República de Macedonia. 30 de agosto - 3 de septiembre de 2010. (descargable de http://roccoditommaso.xoom.it )
• M. Mucciarelli, M. Bianca, R. Ditommaso, MR Gallipoli, A. Masi, C Milkereit, S. Parolai, M. Picozzi, M. Vona (2011). DAÑOS DE CAMPO LEJOS EN EDIFICIOS DE RC: EL CASO DE ESTUDIO DE NAVELLI DURANTE LA SECUENCIA SÍSMICA DE L'AQUILA (ITALIA), 2009. Boletín de Ingeniería Sísmica . doi : 10.1007 / s10518-010-9201-y .
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