Un análisis multirresolución ( MRA ) o aproximación multiescala ( MSA ) es el método de diseño de la mayoría de las transformadas de ondículas discretas (DWT) prácticamente relevantes y la justificación del algoritmo de la transformada de ondículas rápidas (FWT). Fue introducido en este contexto en 1988/89 por Stephane Mallat e Yves Meyer y tiene antecesores en el análisis microlocal en la teoría de ecuaciones diferenciales (el método de planchado ) y los métodos piramidales de procesamiento de imágenes.tal como lo introdujeron en 1981/83 Peter J. Burt, Edward H. Adelson y James L. Crowley .
Definición
Un análisis multirresolución del espacio de Lebesgue consta de una secuencia de subespacios anidados
que satisfaga ciertas relaciones de auto-semejanza en tiempo-espacio y escala-frecuencia, así como relaciones de completitud y regularidad.
- La auto-semejanza en el tiempo exige que cada subespacio V k sea invariante bajo desplazamientos por múltiplos enteros de 2 k . Es decir, para cadala función g definida como también contenido en .
- La autosimilitud en escala exige que todos los subespaciosson versiones escaladas en el tiempo entre sí, con factor de dilatación de escala respectivamente 2 k-l . Es decir, para cada hay un con .
- En la secuencia de subespacios, para k > l la resolución espacial 2 l del l -ésimo subespacio es mayor que la resolución 2 k del k -ésimo subespacio.
- La regularidad exige que el subespacio del modelo V 0 se genere como el casco lineal ( algebraicamente o incluso topológicamente cerrado ) de los cambios enteros de una o un número finito de funciones generadoras. o . Esos cambios enteros deberían al menos formar un marco para el subespacio, que impone ciertas condiciones a la desintegración en el infinito . Las funciones generadoras también se conocen como funciones de escala o ondas padre . En la mayoría de los casos, se exige que esas funciones sean continuas por partes con un soporte compacto .
- La integridad exige que esos subespacios anidados llenen todo el espacio, es decir, su unión debe ser densa en, y que no sean demasiado redundantes, es decir, que su intersección solo contenga el elemento cero .
Conclusiones importantes
En el caso de una función de escala continua (o al menos con variación acotada) soportada de forma compacta con desplazamientos ortogonales, se pueden hacer varias deducciones. La prueba de existencia de esta clase de funciones se debe a Ingrid Daubechies .
Suponiendo que la función de escalado tiene soporte compacto, entonces implica que hay una secuencia finita de coeficientes por , y por , tal que
Definición de otra función, conocida como ondícula madre o simplemente ondícula
uno puede mostrar que el espacio , que se define como el casco lineal (cerrado) de los desplazamientos enteros de la ondícula madre, es el complemento ortogonal de adentro . [1] O dicho de otra manera,es la suma ortogonal (denotada por) de y . Por auto-similitud, existen versiones escaladas de y por completo uno tiene
así el conjunto
es una base de ondícula ortonormal completa contable en.
Ver también
Referencias
- ^ Mallat, SG "Un recorrido de Wavelet de procesamiento de señales" . www.di.ens.fr . Consultado el 30 de diciembre de 2019 .
- Chui, Charles K. (1992). Introducción a las Wavelets . San Diego: Prensa académica. ISBN 0-585-47090-1.
- Akansu, AN ; Haddad, RA (1992). Descomposición de señales multirresolución: transformadas, subbandas y ondículas . Prensa académica. ISBN 978-0-12-047141-6.
- Crowley, JL, (1982). A Representations for Visual Information , Tesis doctoral, Universidad Carnegie-Mellon, 1982.
- Burrus, CS ; Gopinath, RA; Guo, H. (1997). Introducción a las wavelets y las transformadas wavelet: una introducción . Prentice Hall. ISBN 0-13-489600-9.
- Mallat, SG (1999). Un recorrido Wavelet por el procesamiento de señales . Prensa académica. ISBN 0-12-466606-X.