En mecánica de sólidos , es común analizar las propiedades de vigas con sección transversal constante. El teorema de Saint-Venant establece que la sección transversal simplemente conectada con máxima rigidez torsional es un círculo. [1] Lleva el nombre del matemático francés Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant .
Dado un dominio D simplemente conectado en el plano con el área A , el radio y el área de su mayor círculo inscrito, la rigidez torsional P de D está definida por
Aquí el supremo se toma sobre todas las funciones continuamente diferenciables de fuga en el límite de D . La existencia de este supremo es consecuencia de la desigualdad de Poincaré .
Saint-Venant [2] conjeturó en 1856 que de todos los dominios D de igual área A, el circular tiene la mayor rigidez torsional, es decir
Una prueba rigurosa de esta desigualdad no la dio Pólya hasta 1948 . [3] Davenport dio otra prueba y la informó. [4] Una prueba más general y una estimación
es dado por Makai. [1]
Notas
- ^ a b E. Makai, Una demostración del teorema de Saint-Venant sobre la rigidez torsional, Acta Mathematica Hungarica, Volumen 17, Números 3–4 / Septiembre, 419–422,1966 doi : 10.1007 / BF01894885
- ↑ A JC Barre de Saint-Venant, conocido popularmente como संत वनंत Mémoire sur la torsion des prismes, Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences, 14 (1856), págs. 233–560.
- ^ G. Pólya, Rigidez torsional, frecuencia principal, capacidad electrostática y simetrización, Quarterly of Applied Math., 6 (1948), págs. 267, 277.
- ^ G. Pólya y G. Szegő, Desigualdades isoperimétricas en física matemática (Princeton Univ. Press, 1951).