Restricción de Weil

En matemáticas , la restricción de escalares (también conocida como "restricción de Weil") es un funtor que, para cualquier extensión finita de los campos L / ky cualquier variedad algebraica X sobre L , produce otra variedad Res _{L / k} X , definida sobre k . Es útil para reducir las preguntas sobre variedades en campos grandes a preguntas sobre variedades más complicadas en campos más pequeños.

Definición

Deje L / k sea una extensión finita de campos, y X una variedad definida sobre L . El functor${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$de k - esquemas ^op a conjuntos se define por

${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)}$

(En particular, los puntos k -racionales de${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$son los L -puntos racionales de X ). La variedad que representa este funtor se llama restricción de escalares, y es única hasta un isomorfismo único si existe.

Desde el punto de vista de las gavillas de conjuntos, la restricción de los escalares es solo un avance a lo largo del morfismo${\displaystyle \operatorname {Spec} (L)\to \operatorname {Spec} (k)}$y es directamente adjunto al producto de fibra de los esquemas , por lo que la definición anterior puede reformularse de manera mucho más general. En particular, se puede reemplazar la extensión de los campos por cualquier morfismo de los topoi anillados , y las hipótesis sobre X pueden debilitarse, por ejemplo, a pilas. Esto tiene el costo de tener menos control sobre el comportamiento de la restricción de escalares.

Propiedades

Para cualquier extensión finita de campos, la restricción de escalares lleva variedades cuasiproyectivas a variedades cuasiproyectivas. La dimensión de la variedad resultante se multiplica por el grado de extensión.

Bajo hipótesis apropiadas (p. Ej., Plano, adecuado, presentado de forma finita), cualquier morfismo ${\displaystyle T\to S}$de espacios algebraicos produce una restricción del functor escalar que lleva las pilas algebraicas a pilas algebraicas, conservando propiedades como Artin, Deligne-Mumford y la representabilidad.

Ejemplos y aplicaciones

1) Sea L una extensión finita de k de grados s. Luego${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}(\operatorname {Spec} (L))=\operatorname {Spec} (k)}$ y ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {A} ^{1}}$es un espacio afín s -dimensional${\displaystyle \mathbb {A} ^{s}}$sobre Spec k .

2) Si X es una variedad L afín , definida por

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$

podemos escribir ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}X}$ como Spec ${\displaystyle k[y_{i,j}]/(g_{l,r})}$, donde y _{yo, j} (${\displaystyle 1\leq i\leq n,1\leq j\leq s}$) son nuevas variables, y g _{l, r} (${\displaystyle 1\leq l\leq m,1\leq r\leq s}$) son polinomios en ${\displaystyle y_{i,j}}$dado tomando una k -basis${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{s}}$de L y ajuste${\displaystyle x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dots +y_{i,s}e_{s}}$ y ${\displaystyle f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dots +g_{t,s}e_{s}}$.

3) La restricción de escalares sobre una extensión finita de campos lleva esquemas de grupo a esquemas de grupo.

En particular:

4) El toro

${\displaystyle \mathbb {S} :=\operatorname {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m}}$

donde ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$denota el grupo multiplicativo, juega un papel significativo en la teoría de Hodge, ya que la categoría tannakiana de estructuras de Hodge reales es equivalente a la categoría de representaciones de${\displaystyle \mathbb {S} .}$Los puntos reales tienen una estructura de grupo de Lie isomorfa a${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$. Ver grupo Mumford-Tate .

5) La restricción de Weil ${\displaystyle \operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {G} }$ de una variedad de grupo (conmutativa) ${\displaystyle \mathbb {G} }$ es de nuevo una variedad grupal (conmutativa) de dimensión ${\displaystyle [L:k]\dim \mathbb {G} ,}$si L es separable sobre k . Aleksander Momot aplicó restricciones de Weil de variedades de grupos conmutativos con${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ y ${\displaystyle L=\mathbb {C} }$ con el fin de derivar nuevos resultados en la teoría de la trascendencia que se basaron en el aumento de la dimensión algebraica.

6) La restricción de escalares en variedades abelianas (por ejemplo, curvas elípticas ) produce variedades abelianas, si L es separable de k . James Milne usó esto para reducir la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer para las variedades abelianas en todos los campos numéricos a la misma conjetura sobre los racionales.

7) En la criptografía de curva elíptica , el ataque de descenso de Weil utiliza la restricción de Weil para transformar un problema de logaritmo discreto en una curva elíptica sobre un campo de extensión finito L / K, en un problema de registro discreto en la variedad jacobiana de una curva hiperelíptica sobre la base. campo K, que es potencialmente más fácil de resolver debido al tamaño más pequeño de K.

Restricciones de Weil frente a transformaciones de Greenberg

La restricción de escalares es similar a la transformada de Greenberg, pero no la generaliza, ya que el anillo de vectores de Witt en un álgebra conmutativa A no es en general un álgebra A.

Referencias

La referencia original es la Sección 1.3 de las Conferencias de Weil de 1959-1960, publicada como:

• Andre Weil. "Adeles y Grupos Algebraicos", Progreso en Matemáticas. 23 , Birkhäuser 1982. Notas de conferencias pronunciadas 1959-1960.

Otras referencias:

• Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud. "Modelos Néron", Springer-Verlag, Berlín 1990.
• James S. Milne. "Sobre la aritmética de las variedades abelianas", Invent. Matemáticas. 17 (1972) 177-190.
• Martin Olsson. "Hom pilas y restricción de escalares", Duke Math J., 134 (2006), 139-164. http://math.berkeley.edu/~molsson/homstackfinal.pdf
• Bjorn Poonen. "Puntos racionales sobre variedades", http://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf
• Nigel Smart , página de descenso de Weil con bibliografía, https://homes.esat.kuleuven.be/~nsmart/weil_descent.html
• Aleksander Momot, "Densidad de puntos racionales en variedades de grupos conmutativos y pequeño grado de trascendencia", https://arxiv.org/abs/1011.3368