Tensor de Schouten

En la geometría de Riemann , el tensor Schouten es un segundo orden tensor introducido por ene Arnoldus Schouten . Se define para n ≥ 3 por:

{\ Displaystyle P = {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {R} {2 (n-1)}} g \ right) \, \ Leftrightarrow \ mathrm {Ric} = (n-2) P + Jg \ ,,}

donde Ric es el tensor de Ricci (definido por la contracción de los primero y tercer índices del tensor de Riemann), R es la curvatura escalar , g es la de Riemann métrica , es la traza de P y N es la dimensión del colector. ${\ Displaystyle J = {\ frac {1} {2 (n-1)}} R}$

El tensor de Weyl es igual al tensor de curvatura de Riemann menos el producto de Kulkarni-Nomizu del tensor de Schouten con la métrica. En una notación de índice

{\ Displaystyle R_ {ijkl} = W_ {ijkl} + g_ {ik} P_ {jl} -g_ {jk} P_ {il} -g_ {il} P_ {jk} + g_ {jl} P_ {ik} \, .}

El tensor de Schouten aparece a menudo en geometría conforme debido a su relativamente simple ley de transformación conforme

{\ Displaystyle g_ {ij} \ mapsto \ Omega ^ {2} g_ {ij} \ Rightarrow P_ {ij} \ mapsto P_ {ij} - \ nabla _ {i} \ Upsilon _ {j} + \ Upsilon _ {i } \ Upsilon _ {j} - {\ frac {1} {2}} \ Upsilon _ {k} \ Upsilon ^ {k} g_ {ij} \ ,,}

donde ${\ Displaystyle \ Upsilon _ {i}: = \ Omega ^ {- 1} \ parcial _ {i} \ Omega \ ,.}$

Otras lecturas

Arthur L. Besse, Einstein Manifolds . Springer-Verlag, 2007. Ver Capítulo 1 §J "Cambios de conformidad de las métricas de Riemann".
Spyros Alexakis, La descomposición de invariantes conformales globales . Princeton University Press, 2012. Capítulo 2, señalando en una nota al pie de página que el tensor de Schouten es un "tensor de Ricci ajustado por trazas" y puede ser considerado como "esencialmente el tensor de Ricci".
Wolfgang Kuhnel y Hans-Bert Rademacher, "Difeomorfismos conformales preservando el tensor de Ricci", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 123 (1995), núm. 9, 2841–2848. Eprint en línea (pdf).
T. Bailey, MG Eastwood y AR Gover, "Paquete de estructura de Thomas para estructuras conformadas, proyectivas y relacionadas", Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 24, número 4, 1191-1217.

Ver también

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